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1、（考前大通关）2013高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题六第二讲 空间角与距离题针对训练 理一、选择题1若直线l与平面所成的角为，则直线l与平面内与l不相交的直线所成角中最大，最小的角分别为()A.，B.，C.，0 D.，0解析：选B.直线和平面内直线所成角最大为，而直线和平面所成角即为直线和平面内所有直线所成角中的最小角，故最小角为.2(2011年高考大纲全国卷)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为()A7 B9C11 D13解析：选D.如图，由题意可知AMN60，设球心为O，连接ON、OM、OB
2、、OC，则ONCD，OMAB，且OB4，OC4.在圆M中，MB24，MB2.在OMB中，OB4，OM2.在MNO中，OM2，NMO906030，ON.在CNO中，ON，OC4，CN，SCN213.3在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A1到截面AB1D1的距离是()A. B.C. D.解析：选C.设A1C1B1D1O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1平面AB1D1，交线为AO1，在平面AA1O1内过A1作A1HAO1于点H，则易知A1H的长即是点A1到平面AB1D1的距离在RtA1O1A中，A1O1，AO1，由A1O1A1AA1HAO1，
3、可得A1H.4正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为() A2 B3C4 D5解析：选C.如图所示，则BC中点、A1D1中点、B1、D分别到两异面直线的距离相等，即满足条件的点有四个，故选C项5设C是AOB所在平面外的一点，若AOBBOCAOC，其中是锐角，而OC与平面AOB所成角的余弦值等于，则的值为()A30 B45C60 D75解析：选C.作CC1平面AOB于点C1，CA1OA于点A1，CB1OB于点B1，连接OC1(图略)，则COC1为直线OC与平面AOB所成的角，则OC1是AOB的平分线，设OA1x，则OC，OC1，易求得cosCOC1，即2
4、cos2cos10，解之得cos或cos(舍去)，故30，所以60.二、填空题6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是_解析：取AA1的中点N，连结B1N，DN(图略)，则AMB1N，DB1N即为所求，设正方体的棱长为1，在B1DN中，求出各边长，利用余弦定理可求出DB1N的余弦值为.答案：7已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45.若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的大小是_解析：由已知POB是PO和平面所成角中的最小角由最小角定理，POB是PO和面所成的角即BO是PO在内的射影，故.即二面角AB的大小
5、为90.答案：908将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中正确的序号是_(写出你认为正确的所有结论的序号)解析：取BD中点O，连结AO、CO，则AOBD，COBD，BD面AOC，ACBD.又ACAOADCD，ACD是等边三角形而ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45.又AABD(设ABa)，则a2a22a2a22aa()2aa()2a2cosA，D，cosA，D，AB与CD所成角为60.答案：三、解答题9.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12
6、，M是棱CC1的中点(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM平面A1B1M.解：(1)因为C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M90.而A1B11，B1M，故tanMA1B1， 即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.(2)证明：由A1B1平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，得A1B1BM.由(1)知，B1M，又BM，B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB1，再由得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.10如图，在四棱
7、锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值解：以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，P(0,0，a)，F(，)(1)证明：(，0，)(0，a,0)0，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则得即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin.11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知BC
8、1，BB12，AB平面BB1C1C.(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值；(2)在棱CC1(不包括端点C、C1)上确定一点E的位置，使EAEB1(要求说明理由)；(3)在(2)的条件下，若AB，求二面角AEB1A1的大小解：以B为坐标原点，BC、BB1、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1(0,2,0)(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC的一个法向量为(0,2,0)，又(1,2,0)，设BC1与平面ABC所成的角为，则sin|cos，|，tan2，即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.(2)设E(1，y,0)，A(0,0，z)，则1(1,2y,0)，(1，y，z)，EAEB1，11y(2y)0，y1，即E(1,1,0)，E为CC1的中点(3)由题知A(0,0，)，则(1,1，)，且由(2)知(1，1,0)设平面AEB1的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则，令x11，则n(1,1，)(1,1,0)，110，BEB1E.又BEA1B1，BE平面A1B1E，平面A1B1E的一个法向量为(1,1,0)cosn，二面角AEB1A1的大小为45.5
