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1、【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 6.7数学归纳法提能训练 理 新人教A版【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 6.7数学归纳法提能训练 理 新人教A版 (45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分） 1.利用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=(a1,nN*)”时，在验证n=1成立时，左边应该是( )（A）1（B）1+a（C）1+a+a2（D）1+a+a2+a32.(2012长沙模拟)用数学归纳法证明时，由n=k(k1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( )(A)2k-1 (B)2k-1 (C)2k (D)2k+13.下列代数式(kN*)能被9整除的
2、是( )(A)6+67k(B)2+67k-1(C)2(2+27k+1)(D)3(2+7k)4.(易错题)某个命题与正整数n有关，如果当n=k(kN*)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得( )(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=8时该命题不成立(D)当n=8时该命题成立5.（2012济宁模拟）若Sk=1+2+3+(2k+1)，则Sk+1=( )（A）Sk+(2k+2)（B）Sk+(2k+3)（C）Sk+（2k+2）+(2k+3)（D）Sk+（2k+2）+(2k+3)+(2k+4)6.已知1+23+332+433+
3、n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为( )（A）a=,b=c=（B）a=b=c=（C）a=0,b=c=（D）不存在这样的a、b、c二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012徐州模拟）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(kN*)命题为真时，进而需证n=_时，命题亦真.8.(2012株洲模拟)凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)=_.9.用数学归纳法证明:当推证当n=k+1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2012赣州模
4、拟）数列an中,a1=-,当n1,nN*时，Sn+=an-2,（1）求S1,S2,S3的值；（2）猜想Sn的表达式，并证明你的猜想.11.（2012邢台模拟）若不等式对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论.【探究创新】（16分）设函数y=f(x),对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;(3)在（2）的条件下，猜想f(n)(nN*)的表达式并用数学归纳法证明.答案解析1.【解析】选C.当n=1时，左边=1+a+a2,故选C.2. 【解析】选C.左边的特点：分母依次增加1，末项为
5、;由n=k，末项为,而n=k+1,末项为.故应增加的项数为2k.3.【解析】选D.通过验证k=1可否定A、B、C.4.【解析】选A.命题“n=k(kN*)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立”的逆否命题为“n=k+1(kN*)时命题不成立，那么可推得当n=k(kN*)时命题也不成立”，故选A.【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)k2成立，则f(k+1)(k+1)2成立，下列命题成立的是( )（A）若f(3)9成立，则对定义域内任意的k1，均有f(k)k2成立（B）若f(4)16成立，则对定义域内任意的k4，均有f(k)k2成立（C）若f(7)
6、49成立，则对定义域内任意的k7，均有f(k)k2成立（D）若f(4)16成立，则对定义域内任意的k4，均有f(k)k2成立【解析】选D.命题n=k时成立，则n=k+1时就成立，故若n=4时，f(4)16,则k4时,f(k)k2成立.5.【解析】选C.Sk+1=1+2+3+2(k+1)+1=1+2+3+（2k+3）=1+2+3+（2k+1）+(2k+2)+(2k+3)=Sk+(2k+2)+(2k+3).6.【解题指南】由题意知，等式对一切nN*都成立，可取n=1,2,3,代入后构成关于a、b、c的方程组，求解即得.【解析】选A.令n=1,2,3分别代入已知得即解得:a=,b=,c=.7.【解析
7、】因为n为正奇数，所以与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1.答案：2k+18. 【解析】由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的n-2条对角线及原先的一条边成了对角线.答案：f(n)+n-19.【解析】当n=k+1时，故只需证明即可.答案：10.【解析】（1）当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn+=Sn-Sn-1-2,Sn=(n2).（2）猜想下面用数学归纳法证明：当n=1时，猜想正确;假设当n=k时猜想正确，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时猜想也正确.根据、可知，对任意nN*，都有【方法技巧】解“归纳猜想证明”题的关键环节：（1）准确计算出前若干具体项，
8、这是归纳、猜想的基础.（2）通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.（3）对一般结论用数学归纳法进行证明.【变式备选】在各项均为正数的数列an中，数列的前n项和为Sn，满足(1)求a1,a2，a3的值;（2）由(1)猜想出数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】（1）a1=S1=，a10,a1=1,S2=a1+a2=1+a2=得a20,a2=-1,同理可求得(2)由(1)猜想 (nN*)用数学归纳法证明如下：当n=1时，由(1)知猜想正确.假设当n=k时， (kN*)，那么当n=k+1时，ak+10,即当n=k+1时，猜想也成立,由、可知，对一切nN*，猜想都成立.11.【
9、解析】当n=1时，即所以a26.而a是正整数，所以取a=25，下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，已证；（2）假设当n=k时，不等式成立，即则当n=k+1时，有因为所以所以当n=k+1时，不等式也成立,由（1）（2）知，对一切正整数n，都有所以a的最大值等于25.【探究创新】【解题指南】（1）令x,y均为0可得f(0);(2)利用递推条件可得f(2),f(3),f(4);(3)证明时要利用n=k时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+200,得f(0)=0.(2)由f(1)=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+211=4.f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+221=9.f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+231=16.（3）由（2）可猜想f(n)=n2,用数学归纳法证明:()当n=1时，f(1)=12=1显然成立.()假设当n=k时，命题成立,即f(k)=k2,则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k1=k2+1+2k=(k+1)2,故当n=k+1时命题也成立，由（），（）可得，对一切nN*都有f(n)=n2成立.- 6 - / 6
