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1、【全程复习方略】广东省2013版高中数学 2.3函数的奇偶性与周期性课时提能演练 理 新人教A版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()(A)yx3，xR(B)ysinx，xR(C)yx，xR(D)y()x，xR2.(2012宿州模拟)已知f(x)满足f(x4)f(x)和f(x)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)()(A)2(B)2(C)98(D)983.(2012深圳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的xR都有f(x2)f(x)f(1)成立，则f(2 011)等于()(A)0 (B)1
2、(C)2 (D)34.函数ylg(1)的图象关于()(A)x轴成轴对称图形(B)y轴成轴对称图形(C)直线yx成轴对称图形(D)原点成中心对称图形5.(预测题)若函数f(x)(k1)axax(a0，a1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是()6.已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(1)2，则f(2 013)的值为()(A)2(B)0(C)2(D)2二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012广州模拟)若f(x)2xa2x为奇函数，则a.8.(2011广东高考)设函数f(x)x3cosx1，若f(a)11，则f(a
3、).9.(易错题)设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为.f(4)0；f(x)是以4为周期的函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)的图象关于x2对称.三、解答题(每小题15分，共30分)10.设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围.11.(2012珠海模拟)已知函数f(x)a是偶函数，a为实常数.(1)求b的值；(2)当a1时，是否存在nm0，使得函数yf(x)在区间m，n上的函数值组成的集合也是m，n，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由.(3)若在函数定义域内总存在区
4、间m，n(m0，a1)为R上的奇函数，f(0)(k1)10，得k2，f(x)axax.又f(x)为R上的减函数，0a1.故g(x)loga(xk)loga(x2)的图象是由ylogax(0a0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m).又f(x)在0,2上单调递减且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数，即，解得1mm0，yf(x)在区间m，n上是增函数.因yf(x)在区间m，n上的函数值组成的集合也是m，n.有，即方程1x，也就是2x22x10有两个不相等的正根.480，此方程无解.故不存在正实数m，n满足题意.(3)由(1)，可知f(x)a(D(，0)(0，).考察函数f
5、(x)a的图象，可知：f(x)在区间(0，)上是增函数，f(x)在区间(，0)上是减函数.因yf(x)在区间m，n上的函数值组成的集合也是m，n，故必有m、n同号.当0m(此时，m、n(mn)取方程2x22ax10的两根即可).当mn0时，f(x)在区间m，n上是减函数，有，化简得(mn)a0，解得a0(此时，m、n(mn)的取值满足mn，且mn.【变式备选】已知函数f(x)exex(xR且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)ex()x，
6、且yex是增函数，y()x是增函数，所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，f(xt)f(x2t2)0对一切xR恒成立f(x2t2)f(tx)对一切xR恒成立x2t2tx对一切xR恒成立t2tx2x对一切xR恒成立(t)2(x)2min(t)20t.即存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立.【探究创新】【解析】(1)f(x)x2(x1)的图象如图(1)所示，要使得f(1m)f(1)，有m2；x1时，恒有f(x2)f(x)，故m2即可.所以实数m的取值范围为2，)；(2)由f(x)为奇函数及x0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，f(3a2)a2f(a2)，由f(a24)f(a2)a2f(3a2)，故a243a2，从而a21，又a21时，恒有f(x4)f(x)，故a21即可.所以实数a的取值范围为1,1.- 7 -
