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1、1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、填空题一、填空题 （1） 2 0 112 lim x xx x + = . 【答】 1 4 . 【详解 1】 用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换， () () () 2 2 0 2 2 0 2 2 0 114 lim 112 211 lim 4 1 1 2 lim. 24 x x x xx xxx x x x x + = + = = 原式 因 22 1 11 2 xx 【详解 2】 采用洛必达法则， 200 0 0 11 11 2 12 1 limlim 2 41
2、 11 lim 4 11 1 2 12 1 lim. 44 xx x x xx xx x xx xx x xx + + = + = + = 0 0 0 0 原式 注： () 2 110 xx可求出 【详解 3】 采用()1 u +的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当0u 时 () () () 22 1 11, 2! uuuo u += + 所以0 x 时 () () 22 22 11 11, 28 11 11, 28 xxxo x xxxo x += + + = + + 考研数学助手 您考研的忠实伴侣 于是 () () 222 2 0 2 2 0 1111 112 2828 lim
3、 1 lim 4 1 4 x x xxxxo x x o x x + + =+ = 原式= （2）设 ()() 1 ,zf xyyxyf x =+具有二阶连续导数，则 2z x y = . 【答】 ()()() yfxyxyyxy+. 【详解】 ()()() ()()()()() ()()() 2 2 1 , 11 zy f xyfxyyxy xxx z fxyfxyyfxyxyyxy x yxx yfxyxyyxy = + = + =+ （3）设l为椭圆 22 1, 43 xy +=其周长记为, a则 () 22 234 l xyxy ds+= ? . 【答】 12 . a 【详解】 以l为
4、方程 22 1, 43 xy +=即 22 3412xy+=代入，得 ()() 22 23421221212 , lll xyxy dsxydsxydsaa+=+=+= ? 其中第一个积分，由于l关于x轴对称，而xy关于y为奇函数，于是 l xyds ? 0. （4）设A是n阶矩阵， * 0,AA为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则 () 2 * AE+必有特征值 . 【答】 2 1 A + . 【详解】 设()0 ,Axx x=则 () 11 1 ,0 A A xxA A xxx = 即 * , A A xx =从而 ( ) 2 2 * , A Axx = () 2 2 * 1
5、,0, A AE xx x +=+ 可见 ( ) 2 * AE+必有特征值 2 1 A + （5）设平面区域D由曲线 1 y x =及直线 2 0,1,yxxe=所围成，二维随机变量(),X Y在 区域D上服从均匀分布，则(),X Y关于X的边缘概率密度在2x=处的值为 . 【答】 1 4 . 【详解】 区域D的面积为 22 1 111 1 2. ee x D Sdxdydx x = 于是 (),X Y的联合概率密度为 () () 1 , ,2 0, x yD f x y = 其他 其关于x的边缘概率密度为 ( )( ) 1 2 0 11 ,1 22 0, x XX dyxe fxfx dy
6、x + = = 其他 故 ( ) 1 2 4 X f=. 二、选择题二、选择题 （1）设( )f x连续，则 () 22 0 x d tf xtdt dx 等于 （A） () 2 xf x (B) () 2 xf x （C） () 2 2xf x （D） () 2 2xf x 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 作变量代换 22 uxt=，则 ()( )( ) () () 2 2 0 22 00 2 2 11 22 1 2 2 xx x ddd tf xtdtf uduf u du dxdxdx f xx xf x = = = （2）函数( ) () 23 2f xxxxx=不可导点的个数
7、是 （A）3. （B）2. （C）1. （D）0. 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 ( )()()() ()() 23 22111 ,f xxxxxxxx xx=+ 可见( )f x在0,1x =处不可导，而在1x = 处是可导的， 故 ( )f x的不可导点的个数为 2. （3）已知函数( )yy x=在任意点x处的增量 2 , 1 y x y x =+ + ? ?且当0 x?时，是x?的高 阶无穷小，( )0y=，则( )1y等于 （A）2. （B）. （C） 4 e . （D） 4 e 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 由 2 , 1 y x y x =+ + ? ?
8、，有 2 . 1 yy xxx =+ + ? ? 令0 x ?，得 2 1 y y x = + ， 解此微分方程并利用初始条件由( )0,y=得 arctanx ye= 故 ( ) arctan 4 1. x yee = （4）设矩阵 111 222 333 abc abc abc 是满秩的，则直线 333 121212 xaybzc aabbcc = 与直线 111 232323 xaybzc aabbcc = （A）相交于一点. （B）重合. （C）平行但不重合. （C）异面. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 设矩阵 111 222 333 abc abc abc 是满秩的，所以通
9、过行初等变换后得矩阵 121212 232323 333 aabbcc aabbcc abc 仍是满秩的，于是两直线的方向向量 1121212 2232323 , , Saa bb cc Saa aa cc = = 线性无关， 可见此两直线既不平行， 又不重合.又() 111 ,a b c、() 333 ,a b c分别为两直线上的点， 其连线向量为: 1313131 ,Saa bb cc=,满足 312 SSS=+.可见三向量 123 ,S SS共面， 因此 12 ,S S必相交，即两直线肯定相交. （5）设AB、是两个随机事件，且( )( )() () 01,0,|P AP BP B AP
10、 B A=,则必有 （A）() () |P A BP A B= (B)() () |P A BP A B (C)()( ) ( )P ABP A P B=. (D)()( ) ( )P ABP A P B. 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由条件概率公式及条件() () |P B AP B A=，知 () ( ) () ( ) P AB P AB P AP A = 于是有 ()( )( ) ()( )( )() 1P ABP AP A P ABP AP BP AB= 可见 ()( ) ( )P ABP A P B= 故选（C）. 三、三、求直线 11 : 111 xyz l = 在平面
11、:210 xyz+ =上投影直线 0 l的方程，并求 0 l绕y 轴旋转一周所成曲面的方程. 【详解 1】 过直线l作一垂直于的平面 1 ， 其法向量既垂直于l的方向向量1,1, 1s =， 又垂直于 的法向量1, 1,2n =，可用向量积求得 1 11132 . 112 ijk nsnijk= = 又()1,0,1为直线l上的点，所以该点也在平面 1 上，由点法式得 1 的方程为 ()()13210,xyz=即 3210 xyz+ =. 从而 0 l的方程为 0 210 : 3210 xyz l xyz + = + = 将 0 l写成参数y的方程： () 2 1 1 2 xy zy = =
12、于是直线绕y轴旋转所得旋转曲面方程为： ()() 2 2 22 1 21 2 xzyy +=+ 即 222 4174210.xyzy+ = 【详解 2】 用平面束方法，直线 11 : 111 xyz l = 的方程可写为 10 10 xy yz = + = 于是过l的平面方程可写成 ()110,xyyz += 即 ()110.xyz+ = 在其中求出平面 1 ，使它与垂直，得 ()1120,= 解得2,= 于是 1 的方程为 ()()13210,xyz= 即 3210 xyz+ = 以下同解法一. 四、四、确定常数,使在右半平面0 x上的向量() ()() 42242 ,2A x yxy xy
13、ixxyj =+为 某二元函数(),u x y的梯度，并求(),u x y. 【详解】 令() ()()() 42242 ,2,P x yxy xyQ x yxxy =+= + 由题设，有 QP xy = 即 ()() 42 410.x xy += 可见， 当且仅当1= 时， 所给向量场时梯度场， 在0 x在半平面内任取一点， 比如点()1,0 作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 () 2 442 10 2 20 , 0 arctan. xy xx u x ydxC xxy y C x =+ + = + 其中C为任意常数. 五、五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器
14、的下沉深度y（从海平面算 起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m体积为,B海水比重为,仪器所受 的阻力与下沉速度成正比，比例系数为()0k k .试建立y与v所满足的微分方程，并求出函 数关系式( ).yy v= 【详解】 取沉放点为原点,O Oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 2 2 , d y mmgBkv dt = 这是可降阶的二阶微分方程，其中 dy v dt =. 令, dy v dt =则 2 2 , d ydv dydv v dtdy dtdy =于是原方程可化为 , dv mvmgBkv dy = 分离变量得 , mv dydv mgBkv = 积分得 () () 2 ln m mgBm yvmgBkvC kk = + 再根据初始条件 0 0, |y v = =得 () () 2 ln, m mgB CmgBkv k = 故所求函数关系为
