《高三数学高三复习3年高考2年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学高三复习3年高考2年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 1 - / 67 第三节第三节 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题 1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （11）与正方体 1111 ABCDABC D的三条棱AB、 1 CC、 11 AD所在 直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】直线上取一点，分别作
2、垂直于于则 分别作 ，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定 理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 ，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D. 2.2.（20102010 辽宁理）辽宁理）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使 这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (A)（0,62） (B)（1,2 2） (C) (62,62） (D) （0,2 2） 【答案】A 【命题立意】本题考查了学生的空间想
3、象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有 以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a 可 以取最大值，可知 AD=3，SD= 2 1a ，则有 2 1a 2+3，即 22 84 3( 62)a ，即有 a0; 综上分析可知 a（0,62） 3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距 离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只
4、有 3 个 （D）有无数个 【答案】D D 【解析解析】：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上， 三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点， 4.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形， SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 （A） 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【答案】D D 【
5、解析解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF 面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面
6、与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长 3 3， 3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF= 3 2， ， A B C S E F 2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 3 - / 67 A B C D A1 B1 C1 D1 O 3 sin 4 ABF 5.5.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文） （9）正方体ABCD- 1111 ABC D中， 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值 为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 【
7、答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法， 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体 现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B 1 B与平面 AC 1 D所成角和 DD1与平面 AC 1 D所成角相等,设 DO平面 AC 1 D，由等体积法得 11 D ACDDACD VV ,即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD .设 DD1=a, 则 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A, 2 11 22 ACD SAD CDa A.
8、所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A ,记 DD1与平面 AC 1 D所成角为,则 1 3 sin 3 DO DD ,所以 6 cos 3 . 【解析 2】设上下底面的中心分别为 1, OO； 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角， 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD 6.6.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3
9、 (D) 8 3 3 2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 4 - / 67 7.7.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） （7）正方体 ABCD- 1111 ABC D中，B 1 B与平面AC 1 D所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 8.8.（20102010 四川文）四川文）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是 平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别 与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距 离是 （A） 17 a
10、rccos 25 R （B） 18 arccos 25 R （C） 1 3 R （D） 4 15 R 【答案】A 【解析】由已知，AB2R,BCR,故tanBAC 1 2 cosBAC 2 5 5 连结OM，则OAM为等腰三角形 AM2AOcosBAC 4 5 5 R，同理AN 4 5 5 R，且MNCD 而AC5R,CDR 故MN：CDAN:AC 2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 5 - / 67 MN 4 5 R， 连结OM、ON，有OMONR 于是cosMON 222 17 225 OMONMN OM ON
11、A 所以M、N两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 二、填空题二、填空题 1.1.（20102010 江西理）江西理）16.如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA， OB，OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱OA， OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 1 S， 2 S， 3 S，则 1 S， 2 S， 3 S的大小关系为 。 【答案】 321 SSS 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论， 特殊化，令边长为 1，2，3 得 321 SSS。 2.2.（20102010 北京文）北京文） （14）如图放置的边长为 1
12、的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ( )yf x，则( )f x的最小正周期为 ； ( )yf x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 。 【答案】4 1 说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向 滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋 转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 3.3.（20102010 北京理）北京理） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x
13、 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是( )yf x，则 ( )f x的最小正周期为 ；( )yf x在其两个相邻零 2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 6 - / 67 A B 点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 【答案】4 1 说明：说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向 滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点 B 为中心顺时 针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。 4.4.（20102010 四川文）四川文） （15）如
14、图，二面角l 的大小是 60，线段AB.Bl， AB与l所成的角为 30.则AB与平面所成的角的正弦值是 . 【答案】 3 4 【解析】过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D 连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角l 的平面角，为 60 又由已知，ABD30连结CB，则ABC为AB与平面所成的角 设AD2，则AC3，CD1 AB 0 sin30 AD 4 sinABC 3 4 AC AB 5.5.（20102010 湖北文数）湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相 同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如 图
15、所示） ，则球的半径是_cm. 【答案】4 【解析】设球半径为 r，则由3VVV 和和和 可得3 322 4 86 3 rrrr,解 得 r=4. 6.6.（20102010 湖南理数）湖南理数）13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 3 cm的几何体的三视图， 则h cm A B C D 2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 7 - / 67 7.7.（20102010 湖北理数）湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三 个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的 球（如图所示） ，则球的半径是 cm。 【答案】4 【解析】设球半径为 r，则由3VVV 和和和 可得3 322 4 86 3 rrrr,解得 r=4. 8.8.（20102010 福建理数）福建理数） 12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】6+2 3 2011 届高三数学高三复习 3 年高考 2 年模拟 第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何 中的应用 - 8 - / 67 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为 3 242 3 4 ，侧面积为3 2 16
