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1、第一章 集合与函数概念,1.1 集合,一集合的含义,到20以内的所有质数;,我国从1991到2003年的13年内所发射的所有 人造卫星;,金星汽车厂2003年生产的所有汽车;,一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集),2集合中元素具的有几个特征,确定性因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的,互异性即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的,无序性即集合中的元素没有次序之分,3.常用的数集及其记法,全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 所有正整数组成的集合称为正整数集，记
2、为 全体整数组成的集合称为整数集，记为 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 全体实数组成的集合称为实数集，记为,我们通常用大写拉丁字母，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素,4元素与集合之间的关系,如果是集合中的元素，就说属于集合，记作； 如果不是集合中的元素，就说属于集合，记作；,例如，所有能被整除的整数,二集合的几种表示方法, 列举法将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开,(2) 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.,(2) 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.,具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以
3、取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.,(3) 图示法-画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示.,如: 集合1,2,3,4,5用图示法表示为:,A 1 2 3 4 5,*有限集与无限集*, 有限集-含有有限个元素的集合叫有限集, 无限集-含有无限个元素的集合叫无限集,例如: A=120以内所有质数,例如: B=不大于3的所有实数,1.并集,一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB,(读作“A并B”).即 AB=x|xA,或
4、xB,1.1.3 集合的基本运算,一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作AB,(读作“A交B”),即 AB=x|xA,且xB.,2.交集,3.并集与交集的性质,4.补集,一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.,对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.,补集可用Venn图表示为:,函数的定义,一般地，我们有： 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：
5、AB为从集合A到集合B的一个函数 ，记作：y=f(x)， x A,（1）x 自变量 （2）A 定义域 （3）值域,函数的表示法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。,就是用图象表示两个变量之间的对应关系。,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。,映射,一般地，我们有： 设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f：AB为从集合A到集合B的一个映射。,要研究函数，我们必须了解区间,区间：设a,b是两个实数，且ab，规定： 定义 名称 符号 几何表示 x|ax b 闭区间 a,b x|axb 开区间 (a
6、,b) x|a xb 左闭右开区间a,b) x|ax b 左开右闭区间(a,b,1.求函数的定义域方法:,（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R （2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 （3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合,(4) 如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。,1.3.1 函数的最大（小）值,1最大值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最
7、大值,2最小值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）,注意：,1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；,（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值,2. 利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间
8、a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,函数的单调性,x,y,O,（-，0上 随 x 的增大而减小,0，+）上 随 x 的增大而增大,单调性定义,f（x1）,f（x2）,如果对于区间I 内的任意 两个值,那么就说 在区间I上是单调增函数,I 称为 的单调增区间,单调性定义,f（x1）,f（x2）,如果对于区间I 内的任意 两个值,那么就说 在区间I上是单调减函数,I 称为 的单调减区间,y,说明,（1）函数的单调性也叫函数的增
9、减性；,（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。,（3）单调区间：针对自变量 x 而言的。 若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间,1. 取量定大小:,2.作差定符号:,3. 给出结论：,判断函数单调性的一般步骤 ：,f(x 1)f(x 2)的结果化积或化完全平方式的和；,在给定区间上任取两个实数 x1 , x2 , 且 x1 x2 .,结论一定要指出在那个区间上。,1.3函数的奇偶性,1偶函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数,例如，函
10、数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.,2奇函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函数,注意：,1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；,2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f
11、(x)具有奇偶性.,3.用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；,(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,3.奇偶函数图象的性质,1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性,本课小结,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数,2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称,
