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1、高中竞赛之重要不等式1柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明1 左=右-左=当且仅当 时，等式成立。柯西不等式的两个推论：设 同号（ ），则 当且仅当 时取等号。若 ，且 ，则 （分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。证明:对和分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设 ， ， ； ， ， 是两组正
2、数，且 ，则 （ ） （ ）当且仅当 时等号成立。闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式： 右图给出了对上式的一个直观理解。若记 ， ，则上式为 特例：多个根式可转化为一个根式。赫尔德不等式已知 （ ）是 个正实数， ，则 上式中若令 ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。2排序不等式，排序原理（给的是两列数且为对称的）设，则有即“反序和”“乱序和”“同序和”其中当且仅当或时等号成立切比雪夫不等式实数，满足，（，）则当且仅当或时等号成立下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。 如图，矩形OPAQ中， ， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部
3、分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有 ，也即 3 琴生不等式凸函数定义 1设是定义在闭区间上的函数，若对任意，和任意，有成立，则称是上的凸函数（也称下凸函数或凹函数） 2设是定义在上的函数，若对任意，且和任意，有成立，则称是上的严格凸函数 3设是定义在上的函数，若对任意，和任意，有成立，则称是上的上凸函数凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)见图1 图1注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的任意两点x1和x2都成立，
4、不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方并且由此形成的弓形是凸的区域正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断例如，读者不难根据图象可以得出：幂函数y=xa当a1或a0时，是(0，)上的下凸函数；当0a1时，是(0，)上的上凸函数指数函数y=ax(a0，a1)是(-，)上的下凸函数对数函数y=logcx(a1)当a 1时，是(0，) 上的上凸函数；当0a1时，是(0，)上的下凸函数三角函数y=sinx是0，上的上凸函数，是，2
5、上的下凸函上述函数的凸性；也可以根据定义用初等方法来证明学过微分学的读者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有0， 则f(x)是(a， b)上的下凸函数琴生Jensen）不等式（变量做和）若是区间上的凸函数，则对任意，有当且仅当时等号成立当为上凸函数时，不等式反向琴生Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式若是区间上的凸函数，则对任意，和对任意满足的正数，有当且仅当时等号成立若令qi=pi(p1pn)，其中p1，pn是任意正数则琴生不等式(2)变成：在(2)或(3)式中，f(x)取不同
6、的凸函数，便得不同的不等式例1 令f(x)=xk，x0，k1，则f(x)是R+上的凸函数，因此有例2 令f(x)=lgx，x0，则f(x)是R+上的凹函数，故有取反对数，得此即加权平均不等式1设全是正数，且（，），且，求证：（1）；（2）证明：不妨设，于是，由切比雪夫不等式得（*）又由均值不等式知又，所以，而，代入（*）后整理可得（1）成立另一方面，由切比雪夫不等式得（*）由均值不等式：，故又，代入（*）整理后可得（2）成立 2有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第个人的水桶需要分钟，且这些（，）各不相等，试问：（1）只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水的次序，使他们花费的总时间最
7、少？这个最少的总时间是多少？（2）若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？解：（1）设安某次序打水时水龙头灌满第个人的水桶需要分钟，则第一人花费的时间为分钟，第二人花费的时间为分钟，第十人花费的时间为分钟总的花费时间为其中，序列，是，的一个排列由题设各各不相同，不妨设，则由排序原理知即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间：先安打水所需时间从小到大依次排队，然后逐个打水即此时花费时间最省，总花费的时间为（）分钟（2）如果有两个水龙头，设总时间最少时有个人在第一个水龙头打水，设依次所需时间为，；有个人在第二个水龙头打
8、水，依次所需时间设为，显然必有一个水龙头的打水人数不少于人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则由（1）知：，总花费的时间为：其中，首先我们来证明若不然，我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总花费的时间变为：即当时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少故在时，总时间可能取得最小值由于，故两个水龙头人一样多总用时为：由于，不妨设下证否则我们交换用时为，的两人的位置后，总用时变为，即经交换后总时间变少故也即类似地我们可以证明：（，），从而最省时的打水顺序为：水龙头一：，；水龙头二：，其中： 3在中，求证下列各不等式：（1）；（2），其中且
9、证明：（1）考查正弦函数，在为上凸函数，故即（2）考查函数，在上是凸函数 6设，证明：证明：考查函数（），其二阶导数，故其为凸函数所以，即 7对正数，若或，则；若，则证明：考查函数（）其二阶导数当或时，故函数（）为凸函数；当时，故函数（）为上凸函数以下由琴生不等式立得 8已知正实数（，）满足求证：证明：考查函数，因，故该函数为凸函数而（，），所以（）去掉对数符号立得 4设，实数，都不为零，且则（1）若，同号，则；（2）若，异号，则证明：当，同号时，两者都是正数，由不等式单调性得，由切比雪夫不等式得（1）成立；当，异号时，假设，由不等式单调性得，由切比雪夫不等式得（2）成立； 5设、为某一三角形
10、三边长，求证：证明：不妨设，易证由排序原理得6设，求证：其中，是，的任意一个排列证明：要证，只要证只要证由题设及排序原理上式显然成立7在中求证：（1）；（2）；证明：（1）考查函数，其在上为凸函数；（2）考查函数，在上是凸函数证明如下：即证证毕 8设，那么（1）；（2）证明：（1）考查函数，其在上为凸函数（2）考查函数，其在上为凸函数证明如下：令，则将上述不等式两端取自然对数，得，即故函数在上为凸函数由琴生不等式故4平均值不等式设，对于，则其中等号当且仅当时成立。以下为阅读材料5贝努利不等式（1）设 ，且同号，则 （2）设 ，则（）当 时，有 ；（）当 或 时，有 ，上两式当且仅当 时等号成立。不等式（1）的一个重要特例是 （ ）6艾尔多斯莫迪尔不等式设P为 内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则 ，当且仅当 为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。7幂平均不等式8权方和不等式第 16 页 共 16 页
