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1、第5讲空间中的垂直关系基础巩固1.设,是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是()A.若l,则lB.若l,则lC.若l,则lD.若l,则l【答案】B【解析】对于选项A,C,可能l,因此A,C均不正确.对于选项D,可能l或l,因此D不正确.故选B.2.命题(1)“直线l垂直于平面内的无数条直线,则l”,命题(2)“若l,则直线l垂直于平面内的无数条直线”,则()A.(1)是真命题,(2)是真命题B.(1)是真命题,(2)是假命题C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是假命题,(2)是假命题【答案】C【解析】直线l垂直于平面内的无数条直线,则l有可能与斜交;反之若l,则直线l垂直
2、于平面内的无数条直线.3.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面内的一条直线,m,则,反过来则不一定,因此“”是“m”的必要不充分条件.4.一直线和平面所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面内的一条直线垂直时所成的角,它为.5.(2012浙江卷,10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线
3、BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【答案】B【解析】当AC=1时,由DC=1,AD=,得ACD为直角,DCAC,又因为DCBC,所以DC平面ABC.所以DCAB.6.(2012湖南长沙模拟)设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“XZ且YZXY”为真命题的是()X,Y,Z是直线X,Y是直线,Z是平面Z是直线,X,Y是平面X,Y,Z是平面A.B.C.D.【答案】C【
4、解析】因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形可使“XZ且YZXY”为真命题.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若B1MN是直角,则C1MN=.【答案】90【解析】在正方体中,C1B1平面ABB1A1,而MN平面ABB1A1,C1B1MN.又B1MN是直角,即MNMB1,而MB1C1B1=B1,MN平面MB1C1.故MNMC1,即C1MN=90.8.(2013届山东青岛阶段测试)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你
5、认为是正确的条件即可).【答案】DMPC(答案不唯一)【解析】由题意可知BDPC,当DMPC时,即有PC平面MBD.又PC平面PCD,平面MBD平面PCD.9.(2012山东临沂沂水)在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,DAB=60,ACBD=O,AB=AA1.(1)求证:C1O平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1平面ACC1A1.【证明】(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.在平行四边形AA1C1C中,C1O1AO,C1O1=AO,四边形AOC1O1为平行四边形.从而可知C1OAO1.C1O平面AB1D1,AO1平面AB1D1,C1O平面AB1D1.(2)在直平行六
6、面体AC1中,A1A平面A1B1C1D1,A1AB1D1.四边形A1B1C1D1为菱形,B1D1A1C1.A1C1AA1=A1,A1C1平面ACC1A1,AA1平面ACC1A1,B1D1平面ACC1A1.B1D1平面AB1D1,平面AB1D1平面ACC1A1.10.(2012浙江卷,20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EFA1D1;BA1平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.【解】(1)证明:因为C1B1A1D
7、1,C1B1平面ADD1A1,所以C1B1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DA=EF,所以C1B1EF.故A1D1EF.因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,故B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tanA1B1F=tanAA1B=,即A1B1F=AA1B,故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H,连接C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=.在直角BHC1中
8、,BC1=2,BH=,得sinBC1H=.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.拓展延伸11.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA平面ABCD,BCAD,CD=1,AD=2,BAD=CDA=45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)证明CD平面ABF;(3)求二面角B-EF-A的正切值.【解】(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FAED,CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD,所以FACD.故EDCD.在RtCDE中,CD=1,ED=2,CE=3,于是cosCED=.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明:过点B作BGCD,交AD于点G,则BGA=CDA=45.由BAD=45,可得BGAB.从而CDAB.又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(3)由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.取EF的中点N,连接GN,则GNEF.因为BCAD,所以BCEF.过点N作NMEF,交BC于M,则GNM为二面角B-EF-A的平面角.连接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知,可得GM=.由NGFA,FAGM,得NGGM.因此,在RtNGM中,tanGNM=.故二面角B-EF-A的正切值为.4
