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1、【赢在课堂】高考数学一轮复习 3.1导数的概念及其运算配套训练 理 新人教A版第三章导数第1讲导数的概念及其运算基础巩固1.下列求导运算正确的是()A.=1+B.(log2x)=C.(3x)=3xlog3eD.(x2cos x)=-2xsin x【答案】B【解析】由于=1-,(3x)=3xln3,(x2cos x)=2xcos x-x2sin x,从而可知仅B项正确.2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为()A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)【答案】C【解析】f(x)=(x-a)2+(x+2a)2(x-a)=3(x2-a2).3.若函数
2、f(x)=在点(x0,f(x0)处的切线平行于x轴,则f(x0)等于()A.-B.C.D.e2【答案】B【解析】与x轴平行的切线,其斜率为0,f(x0)=0,从而可得x0=e.故f(x0)=.4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为()A.3B.-3C.5D.-5【答案】A【解析】对y=x3+ax+b求导,得y=3x2+a,k=y|x=1=3+a.又点(1,3)为切点,解得b=3.5.函数f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f(x)=g(x),则f(x)与g(x)满足()A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)=0C.f
3、(x)-g(x)为常数函数D.f(x)+g(x)为常数函数【答案】C【解析】因为由f(x)=g(x)可得f(x)-g(x)=0,即f(x)-g(x)=0,所以f(x)-g(x)=C(C为常数).6.已知二次函数f(x)的图象如图甲所示,则其导函数f(x)的图象大致形状是()甲【答案】B【解析】设二次函数为y=ax2+b(a0),则y=2ax,又a0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以解得a=2,b=-2ln2.13.已知函数f(x)=x3-3x及曲线y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和
4、曲线y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.【解】(1)由f(x)=x3-3x得f(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f(1)=0,故所求的直线方程为y=-2.(2)设过点P(1,-2)的直线l与曲线y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f(x0)=3-3.又直线过点(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为=.由题意知=3-3,即-3x0+2=3(-1)(x0-1),解得x0=1(舍去)或x0=-,因此所求直线的斜率为k=3=-.故所求直线的方程为y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0.拓展延伸14.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,
5、g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,又f(-1)=0.(1)求a的值.(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.【解】(1)f(x)=3ax2+6x-6a,f(-1)=0,即3a-6-6a=0,a=-2.(2)由于直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3+6x0+12),g(x0)=6x0+6,切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).将点(0,9)代入,得x0=1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,曲线y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,曲线y=f(x)的切线方程为y=9.因此公切线方程是y=9.又由f(x)=12得-6x2+6x+12=12,x=0或x=1.当x=0时,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-10,但公切线方程不是y=12x+9.综上所述,存在k值能使直线m为曲线y=f(x)及y=g(x)的切线,此时k=0,切线方程为y=9.3 / 3
