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1、【赢在课堂】高考数学一轮复习 6.1数列的概念及简单的表示法配套训练 理 新人教A版第六章数列第1讲数列的概念及简单的表示法基础巩固1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,的一个通项公式是()A.an=B.an=cosC.an=cosD.an=cos【答案】D【解析】令n=1,2,3,逐一验证四个选项,易得D项正确.2.已知数列an的前n项和Sn=,nN*,则a4等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】本小题考查了数列的前n项和Sn与通项an间的递推关系,由已知得a4=S4-S3=.3.数列-2n2+29n+3中的最大项是()A.107B.108C.108D.109【答案】B【解析】 a
2、n=-2n2+29n+3=-2+108,=7且nN*,当n=7时,an最大,最大值为a7=108.4.已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于()A.-165B.-33C.-30D.-21【答案】C【解析】a2=-6,ap+q=ap+aq,p,qN*,a4=a2+a2=-12,a8=a4+a4=-24.于是,a10=a8+a2=-24-6=-30.5.已知数列an满足a1=0,an+1=(nN*),则a20等于()A.0B.-C.D.【答案】B【解析】由题意可知a1=0,a2=-,a3=,a4=0,a5=-,可发现数列an是以3为周期进行周期性变化的
3、,易得B项正确.6.在数列an中,a1=1,对于所有的n2,nN*都有a1a2a3an=n2,则a3+a5等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】方法一:由题意可知a1a2=22,于是a2=4.a1a2a3=32,于是a3=.a1a2a3a4=42,于是a4=.a1a2a3a4a5=52,于是a5=.故a3+a5=.方法二:由a1a2a3an=n2,得a1a2a3an-1=(n-1)2,因此an=(n2).故a3+a5=.7.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是()A.an=n2-n+1B.an=C.an=D.an=【答案】C【解析】从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,
4、有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;故an=1+2+3+4+n=.8.数列,中,有序数对(a,b)可以是.【答案】【解析】从上面的规律可以看出解上式得9.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则a2013=.【答案】4【解析】由题意可知a3=a2-a1=4,a4=a3-a2=4-5=-1,a5=a4-a3=-1-4=-5,a6=a5-a4=-5-(-1)=-4,a7=a6-a5=-4-(-5)=1,a8=a7-a6=1-(-4)=5.因此数列an为周期数列,6为一个周期.故a2013=a3=4.10.若数列an的前n项和Sn=n2-1
5、0n(n=1,2,3,),则此数列的通项公式为;数列nan中数值最小的项是第项.【答案】 an=2n-113【解析】 n2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2-10(n-1)=2n-11;n=1时,a1=S1=-9,也符合上式,an=2n-11.设第n项最小,则于是解得n.又nN*,n=3.11.已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1,且6Sn=(an+1)(an+2),nN*,求数列an的通项公式.【解】由a1=S1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,又已知a1=S11,因此a1=2.由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an
6、+1)(an+2),得an+1-an-3=0或an+1=-an.因为an0,故an+1=-an不成立,舍去.因此an+1-an-3=0,即an+1-an=3.从而可知数列an是公差为3,首项为2的等差数列,故数列an的通项公式为an=3n-1.12.写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,;(2),;(3),-1,-,-,.【解】(1)因为各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.(2)因为每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,所以an=.(3)因为偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母
7、分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可改写为,-,所以an=(-1)n+1.13.已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求该数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an0,an0,解得n6或n6(nN*)时,an0.令n2-n-300,解得-5n6.又nN*,0n6.故当0n6(nN*)时,an0.拓展延伸14.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(nN*).(1)求证:数列an为等差数列,并分别写出an和Sn关于n的表达式;(2)是否存在自然数n,使得S1+-
8、(n-1)2=2013?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.【解】(1)证明:由an=+2(n-1)(nN*),得Sn=nan-2n(n-1)(nN*).当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,因此数列an是以a1=1为首项,4为公差的等差数列.于是,an=4n-3,Sn=2n2-n(nN*).(2)由Sn=nan-2n(n-1),得=2n-1(nN*),于是S1+-(n-1)2=1+3+5+7+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2013,得n=1007,即存在满足条件的自然数n=1007.3 / 3
