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1、【赢在课堂】高考数学一轮复习 10.5古典概型配套训练 理 新人教A版第5讲古典概型基础巩固1.在第1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘客等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】1,3,4,5,8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的,故所求概率为P=.2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是()A.B.C.
2、D.【答案】D【解析】由题意可知正方体被切割为27块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概率为.3.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】基本事件为(1,1),(1,2),(1,8),(2,1),(2,2),(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率为.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为()A.B.C.D.【答案】
3、A【解析】点P在直线x+y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率为=.5.(2012山东枣庄段考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为,则的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由,得cos 0,从而ab=m-n0.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1,2;当m=3时,n=1,2,3;当m=6时,n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为=.6.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是()
4、A.B.C.D.【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和一组对角线),包括10个基本事件,所以概率等于.7.已知A=1,2,3,B=xR|x2-ax+b=0,aA,bA,则AB=B的概率是.【答案】【解析】AB=B,B可能为,1,2,3,1,2,2,3,1,3.当B=时,a2-4b0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当B=1时,满足条件的a,b为a=2,b=1.当B=2,3时,没有满足条件的a,b.当B=1,2时,满足条件的a,b为a=3,b=2.当B=
5、2,3,1,3时,没有满足条件的a,b.故AB=B的概率为=.8.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.【答案】【解析】采用枚举法:从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,基本事件为:1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6个,符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有1,2,2,4,共2个,所以所求的概率为.9.(2012江苏卷,6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.【答案】【解析】由题意可知,这10个数分别为1,-3,9,-27,81,-35,36,
6、-37,38,-39,在这10个数中,比8小的有5个负数和1个正数,故由古典概型的概率公式得所求概率P=.10.盒中有3只灯泡,其中2只是正品,1只是次品.(1)从中取出1只,然后放回,再取1只,求连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数;两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件总数;(2)从中一次任取出2只,求2只都是正品的概率.【解】(1)将灯泡中2只正品记为a1,a2,1只次品记为b1,则第一次取1只,第二次取1只,基本事件总数为9,连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1,a1),(a1,a2),(a2,a1),(a2,a2),共4个基本事件;两次取出的一个为正品,一个
7、为次品所包含的基本事件为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共4个基本事件.(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3,即a1a2,a1b1,a2b1,“2只都是正品”的基本事件数是1,所以其概率为.11.一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字,今随机地先后抽取2个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求2个小球上的数字为相邻整数的概率.【解】随机抽取2个小球,记事件A为“2个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(
8、7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有9种可能,共有可能结果109=90种,因此事件A的概率为=.(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,共有可能结果1010=100种,因此,事件A的概率为.12.(2012天津河西模拟)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球,每个小球被取出的可能性相等.(1)求取
9、出的两个小球上的标号为相邻整数的概率;(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率.【解】设从甲、乙两个盒子中各取1个小球,其标号分别记为x,y,用(x,y)表示抽取结果,则所有可能结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种.(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种.故所求概率为=.(2)所取两个小球上的标号之和能被3整除的结果有(1,2),(2
10、,1),(2,4),(3,3),(4,2),共5种.故所求概率为.拓展延伸13.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.【解】(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,则基本事件总数为66=36.直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是=1,即a2+b2=25.a,b1,2,3,4,5,6,满足条件的情况只有a=3,b=4,或a=4,b=3两种情况.故直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率是=.(2)三角形的一边长为5,当a=1时,b=5,即(1,5,5),共1种情况;当a=2时,b=5,即(2,5,5),共1种情况;当a=3时,b=3,5,即(3,3,5),(3,5,5),共2种情况;当a=4时,b=4,5,即(4,4,5),(4,5,5),共2种情况;当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,即(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5),共6种情况;当a=6时,b=5,6,即(6,5,5),(6,6,5),共2种情况,故满足条件的不同情况共有14种,故三条线段能围成等腰三角形的概率为=.3 / 3
