《振动理论基础》PPT课件

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1、.,1,第十六章 振动理论基础,16-1 单自由度系统的自由振动,16-2 计算系统固有频率的能量法,16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动,16-4 单自由度系统的受迫振动,16-5 隔振的概念,.,2,机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振动现象普遍存在于自然界和工程技术中,如地震。本章仅研究单自由度系统的微振动,讨论振动的基本特征。,谈谈本专业内有关振动问题!?,?,.,3,系统偏离平衡位置后,仅在恢复力作用下维持的振动称为自由振动。,16-1 单自由度系统的自由振动,图示为单自由度系统自由振动的简化模型,它是从实际振动系统中抽象出的简图。设弹簧原长为lo ,刚度为k ,物块

2、质量为m ,静平衡时,弹簧变形为st(称静变形),有,.,4,以平衡位置为原点,建立图示坐标。物块在一般位置的受力如图示,则其振动微分方程为,令 ,代入上式, 得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式,.,5,其通解,频率,周期,积分常数A 和分别为振幅和初位相。它们由运动的初始条件决定。,圆频率(或固有圆频率、固有频率),.,6,频率和周期只与系统本身所固有的惯性和弹性有关,而与运动的初始条件无关,是描述振动系统基本性质的重要物理量。,.,7,质量m=0.5kg的物块,沿光滑斜面无初速滑下,如图所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m,倾角3

3、00,求系统振动的固有频率和振幅,并写出物块的运动方程。,例16-1,.,8,解:物块在平衡位置时,弹簧静变形,以此位置为原点O,建立图示坐标。物块受力如图,其运动微分方程为,化简后得,系统的固有频率,.,9,当物块碰上弹簧时,取时间t=0,作为振动的起点。 则运动的初始条件: 初位移,初速度,得振幅及初位相,mm,物块的运动方程,.,10,如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块,其静挠度(静变形)为2mm。若将物块在梁未变形位置处无初速释放,求系统的振动规律。,例16-2,.,11,解:此无重弹性梁相当于弹簧,其刚性系数,取重物平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下,运动微分方程为:,

4、式中圆频率,.,12,在初瞬时t0,物块位于未变形的梁上,其坐标 x0st= 2mm,初速v0=0,则,初位相,振幅,系统的振动规律,mm,mm,.,13,等效弹簧并联和串联弹簧, 并联弹簧,下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式,其分析方法相同。,由平衡方程得,式中,为并联弹簧的等效弹簧刚度。,n个并联弹簧的等效刚度,.,14, 串联弹簧,图示为串联弹簧。 静平衡时,变形分别为 和 。,弹簧总伸长,等效弹簧刚度,n个弹簧串联,则有,.,15,图为一摆振系统。杆重不计,球质量为m ,摆对轴O的转动惯量为J,弹簧刚度为k,杆于水平位置平衡,尺寸如图。求系统微小振动的运动微分方程及振

5、动频率。,例16-3,.,16,解:,摆处于平衡位置时,弹簧已压缩,由平衡方程,有,以平衡位置为角坐标原点,摆绕轴O的转动微分方程,得系统自由振动微分方程,固有频率,可见,只要以平衡位置为坐标原点,系统的运动微分方程具有标准形式。,.,17,16-2 计算系统固有频率的能量法,对于单自由度的保守系统,固有频率可简便地由机械能守恒定律求出,称为能量法。,设图示系统作简谐振动,则有,若以平衡位置为势能零点,则系统势能,.,18,系统动能,由机械能守恒,即T+V常数,则,系统固有频率,表明;如取平衡位置为势能零点,则可以弹簧在平衡位置的长度为原长计算弹性势能,而不考虑重力势能。只要写出系统的动能和以

6、平衡位置为零点的势能,即可确定系统的固有频率,而不必列写系统的微分方程。,.,19,图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R,半径为r 的鼓轮上绕有细绳,轮上连一铅直弹簧,轮上挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J ,弹簧刚度为k ,重物质量为m 。求系统振动的固有频率。,例16-4,.,20,解:以系统平衡时重物的位置为原点,取 x 为广义坐标。,设系统振动的规律为,则,塔轮角速度,系统动能,.,21,取平衡位置为势能零点,系统的势能为,由,得系统的固有频率,.,22,在如图示的振动系统中,摆杆AO对铰链O的转动惯量为J,在A水平位置处于平衡,求系统微振动的固有频率。,例16-5,.,23,解:取摆

7、角 为广义坐标,设其变化规律为,系统动能,以平衡位置为势能零点,系统势能,由,得固有频率,.,24,如图所示,质量为m ,半径为r 的圆柱体,在半径为R 的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,例16-6,.,25,解:取摆角 为广义坐标,设其微振动规律为,圆柱体中心O1的速度,由运动学知,当圆柱体作纯滚动时, 角速度,系统动能,.,26,整理后得,系统的势能为重力势能,取圆柱在最低处时的圆心位置C 为势能零点,则系统势能,圆柱体作微振动,.,27,由,得,.,28,16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动,由于阻力作用,自由振动的振幅将逐渐衰减,最后趋于静止。产

8、生阻尼的原因很多,不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即,式中负号表明阻力与速度方向相反,阻尼系数c 取决于阻尼介质的性质和物体的形状。,.,29,1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式,图(a)为一有阻尼的质量-弹簧系统。取平衡位置为坐标原点,受力如图(b)。,阻力,微分方程为,或,化简得,代入上式得衰减振动微分方程的标准形式,令,.,30,2、微分方程的解,设 ,代入式中,得特征方程,方程的两个根,通解,有三种可能情形:,.,31, 小阻尼情形,当 或 时,称为小阻尼。,此时,令,则,得运动方程,如图所示。由于振幅随时间不断衰减,故称为衰减振动。,.,

9、32,衰减振动的周期,令,称为阻尼比。,周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的影响很小,可忽略不计,取TdT。,则,.,33,阻尼对振幅的影响,为描述振幅 Ai 的衰减,引入减幅系数(或称振幅缩减率)。由图示得,上式表明:衰减振动的振幅按几何级数递减。阻尼对自由振动的振幅影响较大。,例如:0.05时,Td1.00125T而经过10个周期后,振幅只及原振幅的4.3%。,.,34,初始幅值 A 和初位相取决于初始条件。,对上式两边取对数得对数缩减率,所以,设t0时, , ,则有,.,35, 临界阻尼情形,当 或 时,称为临界阻尼。,此时, 。微分方程的解为,不具有振动的特点,积分

10、常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。,.,36, 大阻尼情形,当 或 时,称为大阻尼。,此时微分方程的解为,积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。,.,37,图为一弹性杆支持的圆盘,弹性杆扭转刚度为k1,圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力,其衰减扭振的周期为Td。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的关系。,例16-7,.,38,解:盘外缘切向阻力与转动速度成正比,则此阻力偶矩M 与角速度成正比,且转向相反。,设 ,为阻力偶系数,则圆盘绕杆轴转动的微分方程为,或,由此得衰减振动周期,.,39,则阻力偶系数,得,.,40,16-4 单自由度系统的受迫

11、振动,振动系统在外加持续激励下的振动称为受迫振动。下面仅讨论简谐激励情形。图示为三种类型的简谐激励,分别是:激励力直接作用;弹簧端点运动引起的激励和偏心转子引起的激励。,.,41,1、激振力直接作用下的受迫振动, 振动微分方程,图为受迫振动系统的简化模型。 激振力,其中,H为最大激振力,为激振力的圆频率。,以平衡位置为坐标原点,则 :,令,整理化简后,得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式,.,42, 微分方程的解,方程的通解由两部分构成:对应的齐次方程的通解和该方程的一个特解。,上式右端第一项为衰减振动,经过短暂时间,即趋于衰减,称瞬态响应。最后得到持续的等幅振动,称稳态响应,即系统的受迫

12、振动,由式可知,受迫振动的频率等于激振力的频率。,将上式代入微分方程式,化简后得到受迫振动的振幅和位相差,.,43,式中,分别称为频率比、阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。,.,44,受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数,即,当一定,与间的关系如图所示,称为幅频特性曲线。由图可知:, 幅频特性,当1时,阻尼对振幅的影响很小,可忽略不计。共振区 =0.751.25。在此区域内阻尼对振幅有显著影响,1时,振幅急剧增加出现峰值的现象,称为共振。对应曲线峰值的频率,称为系统的共振频率。,.,45, 当 1时,阻尼对振幅影响可忽略不计。,小阻尼时,共振频率近似等于固有频率,共振振幅近似与阻尼比成反

13、比,即,.,46,相频特性曲线如图所示。由图可知,当有阻尼时,随频率比/n连续变化。 当1时,0,受迫振动位移与激振力接近同位相。当 1时,受迫振动与激振力接近反位相。当1时, ,与阻尼大小无关,这是共振时的一个重要特征。, 相频特性,工程上利用此特点,通过实验测定系统固有频率n。,.,47,2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动,振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑,端点A 的运动规律,则弹簧恢复力,微分方程,令,得,与激振力直接作用下的受迫振动形式相同。前述有关受迫振动的讨论适用于此。,.,48,3、偏心转子引起的受迫振动,电机安装在基础上,如图所示,弹性地基简化为刚度为k的弹簧。 设基础

14、质量为m1,电机定子质量为m2,转子质量为m ,偏心距e 。转子以匀角速度转动。由于偏心,系统将沿铅垂方向作受迫振动。,建立图示坐标轴Ox 。系统在平衡位置时,有,转子质心的加速度,.,49,由质心运动定理,得,得,令,得微分方程的标准形式,与激振力直接作用下的受迫振动微分形式相同。,.,50,令,则,代入,注意到激振力幅值与其频率有关,得系统受迫振动的振幅,放大系数,.,51,幅频特性曲线如图所示,当0时,b 0 , 0 ;当1时, 又逐渐减少,当很大时,1;当=1时发生共振,此时转子的转速称为临界转速。,.,52,图示为一测振仪的简图,其中物块质量为m ,弹簧刚度为k 。测振仪放在振动物体

15、表面,并随物体而运动。设物体的振动规律为 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。,例16-8,.,53,解:测振仪随物体振动,则其弹簧悬挂点的运动规律为,取 t=0 时物块的平衡位置为坐标原点,取x 轴如图。在任一瞬时t ,弹簧的变形为,物块的运动微分方程,注意到 , ,上式整理后,得,.,54,受迫振动规律为,此时激振力的力幅为H=ke,由式得,由于测振仪壳体也在运动,其振幅为e ,因而图中记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 。由式可知,当 时, ,有 ,物块几乎不动,记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。,.,55,例16-9,图为一无重刚杆。一端铰支,距铰支端 l

16、处有一质量为m 的质点,距 2l 处有一阻尼器,其阻尼系数为c,A 端有一刚度为k 的弹簧,并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡,试列出系统的振动微分方程,并求系统的固有频率n,以及当激振力频率 等于n 时质点的振幅。,.,56,解:取摆角为广义坐标,系统平衡位置为坐标原点。,整理后得,令,当 时,得振幅(最大摆角),质点的振幅,受力如图示。由刚体转动微分方程得,57,电动机安装在基础上,基础下面是弹性基地,如图所示。已知地基的弹性系数为k,基础质量为m1,电动机定子质量为m2,转子质量为m,转子有偏心距e,转子以匀角速度转动。求:(1)基础的强迫振动的振幅;(2)基础对电动机的铅直动约束力。,例16-10,58,1. 将电动机和基础看成一质点系分析它的运动和受力情况,弹性力,(a),(b),(c),解:,应用,得,因为平衡时,则有,59,(2),(d),根据振动理论,系统的固有频率为,强迫振动的规律为,其振幅为,(e),(f),(g),或

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