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1、.,1,第十六章 振动理论基础,16-1 单自由度系统的自由振动,16-2 计算系统固有频率的能量法,16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动,16-4 单自由度系统的受迫振动,16-5 隔振的概念,.,2,机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。,谈谈本专业内有关振动问题！？,？,.,3,系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作用下维持的振动称为自由振动。,16-1 单自由度系统的自由振动,图示为单自由度系统自由振动的简化模型，它是从实际振动系统中抽象出的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ，物块
2、质量为m ，静平衡时，弹簧变形为st（称静变形），有,.,4,以平衡位置为原点，建立图示坐标。物块在一般位置的受力如图示，则其振动微分方程为,令 ，代入上式， 得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式,.,5,其通解,频率,周期,积分常数A 和分别为振幅和初位相。它们由运动的初始条件决定。,圆频率（或固有圆频率、固有频率）,.,6,频率和周期只与系统本身所固有的惯性和弹性有关，而与运动的初始条件无关，是描述振动系统基本性质的重要物理量。,.,7,质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角3
3、00，求系统振动的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。,例16-1,.,8,解：物块在平衡位置时，弹簧静变形,以此位置为原点O，建立图示坐标。物块受力如图，其运动微分方程为,化简后得,系统的固有频率,.,9,当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移,初速度,得振幅及初位相,mm,物块的运动方程,.,10,如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。,例16-2,.,11,解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数,取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微分方程为:,
4、式中圆频率,.,12,在初瞬时t0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0st= 2mm，初速v0=0，则,初位相,振幅,系统的振动规律,mm,mm,.,13,等效弹簧并联和串联弹簧, 并联弹簧,下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分析方法相同。,由平衡方程得,式中,为并联弹簧的等效弹簧刚度。,n个并联弹簧的等效刚度,.,14, 串联弹簧,图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。,弹簧总伸长,等效弹簧刚度,n个弹簧串联，则有,.,15,图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求系统微小振动的运动微分方程及振
5、动频率。,例16-3,.,16,解：,摆处于平衡位置时，弹簧已压缩,由平衡方程,有,以平衡位置为角坐标原点，摆绕轴O的转动微分方程,得系统自由振动微分方程,固有频率,可见，只要以平衡位置为坐标原点，系统的运动微分方程具有标准形式。,.,17,16-2 计算系统固有频率的能量法,对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守恒定律求出，称为能量法。,设图示系统作简谐振动，则有,若以平衡位置为势能零点，则系统势能,.,18,系统动能,由机械能守恒，即T+V常数，则,系统固有频率,表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的动能和以
6、平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，而不必列写系统的微分方程。,.,19,图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上绕有细绳，轮上连一铅直弹簧，轮上挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统振动的固有频率。,例16-4,.,20,解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。,设系统振动的规律为,则,塔轮角速度,系统动能,.,21,取平衡位置为势能零点，系统的势能为,由,得系统的固有频率,.,22,在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。,例16-5,.,23,解：取摆
7、角 为广义坐标，设其变化规律为,系统动能,以平衡位置为势能零点，系统势能,由,得固有频率,.,24,如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,例16-6,.,25,解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为,圆柱体中心O1的速度,由运动学知，当圆柱体作纯滚动时， 角速度,系统动能,.,26,整理后得,系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为势能零点，则系统势能,圆柱体作微振动,.,27,由,得,.,28,16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动,由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。产
8、生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即,式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼介质的性质和物体的形状。,.,29,1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式,图（a）为一有阻尼的质量-弹簧系统。取平衡位置为坐标原点，受力如图（b）。,阻力,微分方程为,或,化简得,代入上式得衰减振动微分方程的标准形式,令,.,30,2、微分方程的解,设 ，代入式中，得特征方程,方程的两个根,通解,有三种可能情形：,.,31, 小阻尼情形,当 或 时，称为小阻尼。,此时,令,则,得运动方程,如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。,.,
9、32,衰减振动的周期,令,称为阻尼比。,周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的影响很小，可忽略不计，取TdT。,则,.,33,阻尼对振幅的影响,为描述振幅 Ai 的衰减，引入减幅系数（或称振幅缩减率）。由图示得,上式表明：衰减振动的振幅按几何级数递减。阻尼对自由振动的振幅影响较大。,例如：0.05时，Td1.00125T而经过10个周期后，振幅只及原振幅的4.3%。,.,34,初始幅值 A 和初位相取决于初始条件。,对上式两边取对数得对数缩减率,所以,设t0时， ， ，则有,.,35, 临界阻尼情形,当 或 时，称为临界阻尼。,此时， 。微分方程的解为,不具有振动的特点，积分
10、常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。,.,36, 大阻尼情形,当 或 时，称为大阻尼。,此时微分方程的解为,积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。,.,37,图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为k1，圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，其衰减扭振的周期为Td。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的关系。,例16-7,.,38,解：盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩M 与角速度成正比，且转向相反。,设 ，为阻力偶系数，则圆盘绕杆轴转动的微分方程为,或,由此得衰减振动周期,.,39,则阻力偶系数,得,.,40,16-4 单自由度系统的受迫
11、振动,振动系统在外加持续激励下的振动称为受迫振动。下面仅讨论简谐激励情形。图示为三种类型的简谐激励，分别是：激励力直接作用；弹簧端点运动引起的激励和偏心转子引起的激励。,.,41,1、激振力直接作用下的受迫振动, 振动微分方程,图为受迫振动系统的简化模型。 激振力,其中，H为最大激振力，为激振力的圆频率。,以平衡位置为坐标原点，则 ：,令,整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式,.,42, 微分方程的解,方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程的一个特解。,上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减，称瞬态响应。最后得到持续的等幅振动，称稳态响应，即系统的受迫
12、振动,由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率。,将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的振幅和位相差,.,43,式中,分别称为频率比、阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。,.,44,受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数，即,当一定，与间的关系如图所示，称为幅频特性曲线。由图可知：, 幅频特性,当1时，阻尼对振幅的影响很小，可忽略不计。共振区 =0.751.25。在此区域内阻尼对振幅有显著影响，1时，振幅急剧增加出现峰值的现象，称为共振。对应曲线峰值的频率，称为系统的共振频率。,.,45, 当 1时，阻尼对振幅影响可忽略不计。,小阻尼时，共振频率近似等于固有频率，共振振幅近似与阻尼比成反
13、比，即,.,46,相频特性曲线如图所示。由图可知，当有阻尼时，随频率比/n连续变化。 当1时，0，受迫振动位移与激振力接近同位相。当 1时，受迫振动与激振力接近反位相。当1时， ，与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。, 相频特性,工程上利用此特点，通过实验测定系统固有频率n。,.,47,2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动,振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑，端点A 的运动规律,则弹簧恢复力,微分方程,令,得,与激振力直接作用下的受迫振动形式相同。前述有关受迫振动的讨论适用于此。,.,48,3、偏心转子引起的受迫振动,电机安装在基础上，如图所示，弹性地基简化为刚度为k的弹簧。 设基础
14、质量为m1，电机定子质量为m2，转子质量为m ，偏心距e 。转子以匀角速度转动。由于偏心，系统将沿铅垂方向作受迫振动。,建立图示坐标轴Ox 。系统在平衡位置时，有,转子质心的加速度,.,49,由质心运动定理，得,得,令,得微分方程的标准形式,与激振力直接作用下的受迫振动微分形式相同。,.,50,令,则,代入,注意到激振力幅值与其频率有关，得系统受迫振动的振幅,放大系数,.,51,幅频特性曲线如图所示,当0时，b 0 ， 0 ；当1时， 又逐渐减少，当很大时，1；当=1时发生共振，此时转子的转速称为临界转速。,.,52,图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m ，弹簧刚度为k 。测振仪放在振动物体
15、表面，并随物体而运动。设物体的振动规律为 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。,例16-8,.,53,解：测振仪随物体振动，则其弹簧悬挂点的运动规律为,取 t=0 时物块的平衡位置为坐标原点，取x 轴如图。在任一瞬时t ，弹簧的变形为,物块的运动微分方程,注意到 ， ，上式整理后，得,.,54,受迫振动规律为,此时激振力的力幅为H=ke，由式得,由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e ，因而图中记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 。由式可知，当 时， ，有 ，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。,.,55,例16-9,图为一无重刚杆。一端铰支，距铰支端 l
16、处有一质量为m 的质点，距 2l 处有一阻尼器，其阻尼系数为c，A 端有一刚度为k 的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率n，以及当激振力频率 等于n 时质点的振幅。,.,56,解：取摆角为广义坐标，系统平衡位置为坐标原点。,整理后得,令,当 时，得振幅（最大摆角）,质点的振幅,受力如图示。由刚体转动微分方程得,57,电动机安装在基础上，基础下面是弹性基地，如图所示。已知地基的弹性系数为k，基础质量为m1，电动机定子质量为m2，转子质量为m，转子有偏心距e，转子以匀角速度转动。求：（1）基础的强迫振动的振幅；（2）基础对电动机的铅直动约束力。,例16-10,58,1. 将电动机和基础看成一质点系分析它的运动和受力情况,弹性力,(a),(b),(c),解:,应用,得,因为平衡时,则有,59,（2）,(d),根据振动理论，系统的固有频率为,强迫振动的规律为,其振幅为,(e),(f),(g),或
