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1、第二章 力系的简化ftp:/端口号 21用户名 donxij密码 public,董兴建() 机械学院A楼832室 振动、冲击与噪声研究所,作业,重做例题2.11，要求：将两力向B点简化，最后简化为力螺旋； 第2章习题：2.2 2.3 2.9 2.12 2.13 第3章习题：3.1 3.2 3.6 3.8,1. 汇交力系；,空间力系,2. 平行力系；,3. 力偶系；,4. 空间一般力系；,力系及其分类 n个力的集合构成力系,空间一般,空间平行,空间汇交,平面一般,分类 空间力系/平面力系 汇交力系/平行力系/一般力系,第二章 力系的简化,2.1 汇交力系 各力的作用线都汇交于一点的力系。,工程结
2、构中的汇交力系,1. 汇交力系合成的几何法,力多边形开口,汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系各力的矢量和，合力的作用线通过力系的汇交点。,各分力首尾相接 与次序无关,合力等于各分力的矢量和,合力为封闭边,二、汇交力系合成的解析法,1、力的分解与力的投影,力的分解与力的投影是两个不同的概念 一个力可分解成两个或两个以上的分力，力沿坐标轴分解 的分力是矢量，力的分解应满足矢量运算法则； 而力在坐标轴上的投影，是该力矢量在该坐标轴上的坐标，力的投影满足标量运算。,空间投影 a.直接投影法 已知：F、夹角求:Fx、Fy、Fz。,Fx=Fcosa,Fy=Fcos,Fz=Fcosg。,投影方向与轴
3、的正向一致时为正，否则为负。,b、二次投影法,已知：F、夹角q、，求： Fx、Fy、Fz 。,投影方向与轴的正向一致时为正，否则为负。,合力在任一轴上的投影，等于 各分力在同一轴投影的代数和。,合力投影定理：合矢量在任一轴上的投影，等于各分矢量 在同一轴投影的代数和。,空间汇交力系合成的解析法,合力的大小、方向,空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和。,定理：汇交力系的合力对任一点的矩，等于所有各分力 对同一点的矩的矢量和。,2. 合力之矩定理,例 2.1 槽形架在点A，B处分别受对称分布的倾斜角为 的力F1和F2的作用，F1和F2的模均为F，尺寸如图示。求此力系对Oz轴的力矩。,解:F1和F2
4、汇交于点C，其合力F = F1 + F2 沿垂直方向。利用合力之矩定理算出此力系对Oz轴的力矩为,2.2 平行力系,1. 两个平行力的简化,方向：平行于F1 、F2，,大小：F = F1+ F2,合力作用点C由合力矩定理确定,两个同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力作用点连线为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与原两力相同。,方向：平行于F1 、F2 ， 合力在较大的力一边。,大小：,合力的作用点C由合力矩定理确定,F = F1 - F2,合力的作用点C 称为平行力系的力心。,1. 两个平行力的简化,两个反向不等值的平
5、行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之差，且在原两力中较大一个的外侧，并且外分原两力作用点连线为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的分力相同。,由合力矩定理：,当力系平行于Z 轴时：,平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是平行力系的力心。,一般情况下简化为一个合力,2.平行力系的简化,力系的力心位置:,性质：平行力系力心位置与各平行力系的方向无关。,平行力系的简化在工程中的具体应用之一是计算物体重心。,3. 重心,重心的应用,偏心电机,各类工程对象的重心,1、分割法：,重心的计算,根据平行力系力心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y 轴
6、平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物体的重心位置。,设 W i 表示第i个小部分的重量，DVi 第i个小体积， 则 代入上式并取极限，可得：,式中 ，上式为重心C 坐标的精确公式。,对于均质物体，比重 = 恒量，上式成为：,重心的位置完全取决于物体的几何形状，故又称为物体的形心。,同理：均质体，均质板，均质细杆的形心公式 为：,若以DWi= Dmig , W= mg 代入上式可得 质心公式,解：由于对称关系，该圆弧重心在Ox轴，即yC=0。取微段,例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。,
7、O,组合形体的重心,圆板半径为R,等边三角形边长为R,求组合体形心.,组合形体的重心,例：试确定由九根均质杆 组成的桁架的重心位置。,解:由图知CE = CH = AE = HB , 每根杆重设为P，则受力如图， 建立坐标系，由对称知xc=AD。,解：,求图示拱形门的重心？,分割法,均质梯形薄板ABCE，在A处用细绳悬挂。今欲使AB边保持水平，则需在正方形ABCD的中心挖去一个圆形薄板。试求圆形薄板的半径。,实验法：,重心在悬线连线上,（1） 悬挂法,重力坝的重心,简化模型,例：图示组合体由一横截面积为0.01 m2的刚性半圆均质细环和一厚度为0.07 m的刚性三角形均质板所组成，环和板的材料
8、是相同的， 若将此物悬挂在一光滑圆柱钉上，求平衡时的角度。,解：由悬挂法知，组合体重心与悬挂点在铅直线上。 取铅直线为 y 坐标 , xC = 0。,又知：,设质量密度为，则：,（2） 称重法,见例4.7,力偶,力偶的定义 力偶的性质 力偶系及其合成,静力学,力偶,力偶的定义 力偶的性质 力偶系及其合成,静力学,力偶的定义,力偶的定义 大小相等、方向相反、作用线相互平行的一对力称为力偶 特殊的力系,力偶,不可再简化的力系 不可能有一个力与其等效,力偶的作用效果 改变刚体转动状态 引起变形体扭曲,力偶的作用的工程实例,力偶/力偶的定义,力偶,力偶的定义 力偶的性质 力偶系及其合成,静力学,力偶/
9、力偶,力偶的三个基本要素 作用面 两力构成的平面,Q,P,转动方向 两力构成的旋转效应的方向,力臂 两力作用线的距离,力偶的性质,力偶/力偶的性质,力偶矩矢量,计算力偶对任意点O 的矩之矢量和,力偶矩矢量,与矩心O无关,便于记忆,力偶/力偶的性质,力偶矩矢量的特征,力偶矩矢量,d,Q,矢量方向,垂直于力偶作用面,矢量大小,定义为力偶的大小,力偶矩矢量包含力偶的三要素信息：大小、作用面、力偶转向,力偶 可由力偶矩矢量 描述,右手法则,力偶/力偶系及其合成,力偶的等效性（刚体）,力偶矩矢量为自由矢量,？给定力偶矩矢量，对应的力偶系是唯一的吗,力偶/力偶的性质,力偶矩矢量的计算,力偶矩矢量,对点Q的
10、矩,？力偶矩=力矩,力偶 可由力偶矩矢量 描述 该物理量等于力 对点 Q 的矩,点Q为 的作用点,力偶,力偶的定义 力偶的性质 力偶系及其合成,静力学,力偶系及其合成,两力偶的合成 力偶系的合成,力偶,两力偶的合成,力偶/力偶的性质,力偶2：,力偶矩矢量,力偶矩矢量,力偶1：,力偶/力偶系及其合成,对于力偶1,力偶/力偶系及其合成,对于力偶1,对于力偶2,Q,P,对于力偶1,对于力偶2,力偶/力偶系及其合成,合力偶：,合力偶矩矢量,两力偶的合力偶矩等于两力偶矩的矢量和,力偶/力偶系及其合成,力偶系的合成,合力偶矩,参考基,合力偶矩矢量坐标式,合力偶矩等于力偶系所有力偶矩的矢量和,合力偶矩的坐标
11、等于力偶系各力偶矩对应坐标的代数和,力偶/力偶系及其合成,n个力偶的集合构成力偶系,力偶及力偶系,力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 与单个力一样，是另一种不能再简化的简单力。,力偶矩是自由矢量，它有三个要素：,转向遵循右手螺旋规则。,力偶矩的大小=M；,力偶作用面；,例：在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩？,解: 各力偶的合力偶矩为,例：在平面上作用一力偶矩为 M=Fa的力偶，求力偶矩矢 量的投影式 M=Fa n。,解：,工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为60 Nm。求工件所受合力偶矩
12、矢在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz及它的大小。,四个力偶的合力偶矩矢在坐标轴上的投影,可得,所以合力偶矩矢的大小,解：,2.4 空间一般力系,作用在刚体上的力成任意分布,称空间一般力系。,作用在刚体上的空间一般力系,力系的简化/空间一般力系的简化/力作用线平移,力作用线的平移,P,O,P,O,力偶是自由矢量 力偶矩矢量在刚体上移动不改变对刚体的作用效果 对应的力系可一起移动或有条件的改变方向 力是滑移矢量 力矢量在刚体上沿作用线移动不改变对刚体的作用效果 力的作用线作平行移动，会改变它对刚体的作用效果,力系的简化/空间一般力系的简化/力作用线平移,平移力的作用线，必须相应增加一个力偶才可
13、能与原来的力等效，该力偶的力偶矩矢量等于原力对平移点O 的力矩,P,O,P,O,=,公理二,令,力偶矩,逆过程,一个力与一个力偶，如果力矢量与力偶矩矢量 相互垂直，则可合成为一个合力，大小与原力大小相同， 但作用线平移：,证：,提示：,力系的简化/空间一般力系的简化/主矢与主矩,力系所有力的矢量和称为该力系的主矢,O,主矩,主矢,力系所有力对某点O的矩之矢量和称为该力系对某点O的主矩,主矢是自由矢量,主矩与矩心绑定,力系的主矢与主矩,力系的简化/空间一般力系的简化/一般力系的简化,一般力系的简化,一般力系可简化为一以简化中心为汇交点的汇交力系与一力偶系的共同作用,P1,O,P2,P3,O,汇交
14、力系（O）,力偶系,一般力系,+,力系向点O简化 点O称为简化中心,力系的简化/空间一般力系的简化/一般力系的简化,P1,O,P2,P3,O,汇交力系（O）,力偶系,一般力系,+,O,=,汇交力系合力,力偶系合力偶,=,主矢,主矩,将力系诸力平移到O点，相应地附加一力偶，,汇交力系,力偶系,Poinsot(布安索)简化,力系在一般情况下可以简化为在任意选定的简化中心 上作用的一个力和一个力偶，该力矢量等于力系的主矢， 该力偶的力偶矩等于力系关于简化中心的主矩。,主矢和主矩的性质,力系无论向何点简化，主矢是一个不变量,力系关于不同点的主矩有如下关系,力系的第二个不变量,主矢与主矩的点积也是一个不
15、变量，与简化中心无关。,3. 合力之矩定理,力系关于不同点的主矩有如下关系,空间任意力系对新简化中心O的主矩，等于该力系对原简化中心O的主矩和作用于原简化中心的主矢对新简化中心O的矩的矢量和。,合力矩定理 - Varignon(伐里农)定理,若力系主矩为零，则空间一般力系诸力对任意点 之矩的矢量和等于该力系的合力对同一点之矩。,若空间一般力系存在合力，那么该力系诸力对任意点之矩的矢量和等于该力系的合力对同一点之矩。 值得注意的是，合力不是主矢！ 如果主矩等于零，此时主矩就是合力！,例：(i)求图示力系对A点的简化结果； (ii)图示力系对O点的力矩之和。,主矢,主矩,合力矩定理,得：力系对A点的简化结果为一个力。,例：路灯在自重W=100N、风载F=20N及拉力FP、FQ的作用下， 其合力通过O点。 试求：拉力FP、FQ的大小 。,写出各力的 坐标表达式,合力矩定理,两个独立方程解两个未知量,例：在正方形ABCD中，已知：力F1=4N，F2=2N，F3=1N，F4=2N，a =1m，试求此力系向A处的简化结果。,主矢,主矩,力系向A处的简化结果为一主矢和一主矩。,4. 力系的简化结果,平衡力系： 合力： 合力偶： 一般情况：,进一步简化：,分两种情况讨论,力系的进一步简化,(i) 若F与M相互垂直， ，最终可简化为一合力。 合力作用点位置为,时图形上分
