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1、【精品】高中数学 9.4直线和平面垂直备课资料 旧人教版必修一、有关概念解释（运用概念求解问题）试判断下面命题正误.（正确的打“”,不正确的打“”）1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.2.如果一条直线垂直于平面内无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.4.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.解：1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何一条直线平行是错误的,因为还存在异面的情形.2.应当明确,无数条直线并不是平面内所有直线,关键看其中有无两条相交线,因一组平行线也是无数条直线,而垂直于一组平行线的线不
2、一定与平面垂直.3.对任意一个三角形来说,它满足：它确定一个平面;每相邻两边都相交,因此,垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面.由线面垂直定义的逆用,知该直线必垂直于三角形的第三边.4.教材中告诉我们两个结论：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,那么过点A垂直于直线a的平面唯一,因此,过点A且与a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内.评述：该题是利用线面垂直的定义及判定来解决的.通过问题的解决,进一步加深对概念的理解,提高灵活运用知识的能力,有些结论可在以后的学习中直接运用,如：4.二、证明线面垂直问题1.空间四边形ABCD的边BC=AC
3、,AD=BD,引BECD,E为垂足,作AHBE于点H,求证：AH面BCD.分析：要证AH面BCD,关键是在面BCD内找两条相交直线,使之与AH垂直.BE是显然的,关键是另一线段.证明：取AB的中点F,连结CF、DF.AC=BC,CFAB.又AD=BD,DFAB,那么AB面CDF.又CD面CDF,CDAB.而BECD,CD面ABE,CDAH.又AHBE,故AH面BCD.2.已知PA垂直于O所在平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,过点A作AEPC于点E,求证：AE面PBC.分析：因为AEPC,所以要证明结论成立,主要在于证明AE与面PBC内一线垂直,而该线从图中结构来看,找BC较合适.证明：P
4、A面ABC,BC面ABC,PABC.又AB是O的直径,故BCAC.而PCAC=C,故BC面PAC.又AE面PAC,故BEAE.而PCAE,PCBC=C,AE面PBC.三、折叠问题教材P28 4是一个简单的折叠问题,这类问题主要看两方面的变化,一是数量变化,一般是角和长度变化;二是位置变化,平行与垂直看折叠前后这两方面是否变化.下图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:AB与EF所在直线平行；AB与面EC垂直；NA与面AB垂直；MN与CD所在直线平行.其中正确命题的序号是 .分析：折叠前的平面图形由六个全等的正方形组成;折叠后的立体图形是由这六个正方形围成的几何体;每一个正方形的位置关
5、系不会改变,但相互间在变.要回答题所问,关键是找到平面图与立体图间字母的对应,经分析、思考立体图形各顶点字母如图所示.那么,AB与EF是异面垂直;AB面EC,因ABMC,ABME;NA面AB,因NAAM,NAAC;MN与CD异面且垂直,故正确命题的序号是.四、证明线面垂直的方法可归纳如下1.利用线面垂直的定义证一直线垂直于平面内任一直线,这条直线垂直于该平面.2.利用线面垂直的判定定理证一直线与平面内两相交线都垂直,这条直线与平面垂直.3.利用线面垂直的性质两平行线之一垂直于平面,则另一条也必垂直于这个平面.备课资料一、利用概念解题1.判断下列命题的正误.（正确打“”,错误打“”）（1）平行于
6、同一直线的两条直线互相平行.（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行.（3）平行于同一平面的两条直线互相平行.（4）垂直于同一平面的两条直线平行.分析：（1）该命题就是平行公理,因此该命题正确.打“”.（2）垂直于同一直线的两条直线可以平行,也可以相交,还可以是异面直线,故该命题错误.打“”.（3）平行于同一平面的两直线具有平行、相交、异面三种位置关系,故该命题错误.打“”.（4）由直线和平面垂直的性质知该命题正确.打“”.2.MN是异面直线a、b的公垂线.已知:a,b,求证:MN.分析：需在内找与a及b平行的直线,从而证明MN与这两条直线垂直,依判定定理完成证明.证明：在内取一点P,设直线a与
7、点P确定的平面与的交线为a,直线b与点P所确定的平面与平面的交线为b.a,b,aa,bb.又MNa,MNb,MNa,MNb.故MN.3.如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线就和它们的交线平行.已知：a,a,=b.求证：ab.分析：此题证明的难点是构造图形,构造符合题意的图形,由于构造方法的不同,可有不同的证明方法.证法一：=b,在b上任取一点A,设过a、A的平面与平面相交于直线b.a则ab.又设过点A及a的平面交于b.,ab.b与b都过A且与b平行,b与b重合,重合后的直线既在内又在内,因而即为交线b.故ba.证法二：设过a的两个平面,分别与、相交于直线c、d.a,a,ac,ad.cd
8、,则c.cb.ab.证法三：在a上取一点A,作AB于点B,AC于点C.a,a,aAC,aAB.设AB、AC确定平面,a.又bAB,bAC,b.ab.证法四：假设=b且b不平行于a,在b上任取一点A,过A、a确定平面,则与交于b,与交于b,且a,a.过直线外一点作直线的平行线是唯一的,故假设b与a不平行不真,即ab.(从多角度思考问题,以拓宽解题思路,提高空间想象能力)二、证明线线平行的方法可归纳如下1.利用线线平行定义证明线线共面且无公共点.2.利用三线平行公理变两线同时平行于第三条直线.3.利用线面平行的性质定理证线面平行转化为证线线平行.4.利用线面垂直性质定理垂直于同一平面的两直线平行.
9、从以上线线平行的求证方法,可知等价转化思想在立体几何中贯通全篇,通过转化将立体几何问题转化为平面几何问题,其中平面起着桥梁作用,看下面问题及其解决思路.在正方体ABCDA1B1C1D1中,EF为异面直线A1D与AC的公垂线.求证：EFBD1.分析：要证EFBD1,从转化的角度结合题目构造符合证题思路的图形很重要,这是关键所在.证明：连结A1C1,由于ACA1C1,EFAC,EFA1C1.又EFA1D,A1DA1C1=A1,EF面A1C1D.BB1面A1B1C1D1,A1C1面A1B1C1D1,BB1A1C1.又A1C1B1D1,故A1C1面BDD1B1.而BD1面BB1D1D,A1C1BD1.
10、同理DC1BD1.故BD1面A1C1D.则EFBD1.(问题转化过程中,面A1C1D的作用主要在于把EF和BD1的关系清楚地反映出来)三、线到平面的距离问题线面距离问题解决的基本思想都是通过转化完成.由线面距离点面距离点线距离解三角形完成.已知在长方体AC1中,AA1=a,AB=b.求B1C1到平面A1BCD1的距离.分析：求线面距离,其作法是：在线上取点,将线面距离问题转化为点面距离问题,进而由点向面作垂线,转化为点线距离.解：B1C1BC,且B1C1面A1BCD1,BC面A1BCD1,B1C1面A1BCD1.那么过点B1作面A1BCD1的垂线段即为所求.过点B1作B1EA1B于点E.BC面
11、A1B1BA,B1E面A1BB1,BCB1E.那么B1E面A1BCD1,B1E的长即为所求,B1E=.备课资料一、射影问题一个点在平面内的射影一定还是一个点,而一条直线在平面内的射影是直线或点,一个三角形（平面图形）在平面内的射影是否一定还是三角形？（请考虑三角形所在面与平面垂直时的情形）请思考下列问题,注意特殊情形,利用斜线段、射影、垂线段.1.一条直线在一个面内射影可能是A.一个点B.一条线段C.一条直线D.可能是一个点,也可能是一条直线解析：当直线与平面垂直时,该直线在平面内的射影为一个点,除此之外其余情形在平面内的射影都是一条直线.答案：D2.如果平面外两条直线在平面内的射影是一个点和
12、不经过该点的一条直线,那么这两条直线的位置关系是A.异面B.平行C.异面或平行D.异面或相交解析：平面外的两直线相交时,无论直线位置如何,只要其中有一直线的射影为点,则另一直线的射影一定经过该线,那么相交情形可排除在外.当两直线平行时,由题知其在面内的射影应为两个点,也可排除平行情形.故两直线是异面情形.答案：A3.下列命题正确的个数为两条斜线相等,则它们在同一平面内的射影也相等 两条平行线在同一平面内的射影也是平行线 若a是平面的斜线,直线b垂直于a在内的射影,则ba 若直线a,l为平面的斜线,al,则a垂直于l在内的射影A.1 B.2 C.3 D.4解析：两条斜线段相等,则它们在同一平面内
13、的射影不一定相等.因为当这两条斜线段从平面外一点引出时射影相等,若不是从平面外一点引出,则可以相等,也可以不相等.当两直线垂直于平面时其射影为两个点,当两直线所确定的平面垂直于平面时,其射影为一条直线,其余位置的射影为两平行线.如图举一反例,a是a在内的射影,ba,但b与a不垂直.经l上一点作平面的垂线b,a,ab.又al,故a与斜线l及垂线b所确定的平面垂直,射影在该面内.故a垂直于l在内的射影.答案：A由上分析知正确命题为.以上是线的射影,再看一个形的射影问题.4.RtABC的斜边AB在平面内,顶点C在平面外,则ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形只能是A.一条线段B.一个锐角
14、三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形解析：问题的关键在于顶点C在平面上的射影的位置.当顶点C在平面上的射影在AB所在的直线上时,两直角边在平面上的射影是一条线段.其与斜边组成的图形是一条线段.当顶点C在平面内的射影在BC所在的直线外时,如图所示,其射影与斜边组成三角形.AC2+BC2=AB2,而ACAC,BCBC,AB2,那么 AB是钝角三角形.答案：D可利用斜线段、垂线段及射影来解决距离及线段长,主要是解直角三角形,如下列问题：5.由点P到平面引垂线PO及斜线PA、PB、PC,设PA、PB、PC与平面所成的角分别是60、45、30,且PC=a,求：（1）点P到平面的距离；（2）PA、PB及PA、PB在平面的射影长.解：（1）如图,垂线段为PO,
