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1、【精品】高中数学 6.5含绝对值的不等式（第一课时） 大纲人教版必修6.5 含有绝对值的不等式课时安排2课时从容说课本小节的内容包括含绝对值不等式的一个定理，两个推论及其证明和应用.本小节教学时间约需2课时.1.本小节的定理是含绝对值不等式的一个重要性质，在以后解决各类含绝对值不等式的问题时经常用到，一定要让学生掌握.对于这个定理的教学，学生可能不易接受.为此，教学时要注意使学生明白：（1）绝对值的含义：若xR，则|x|=（2）绝对值的几何意义：|x|指数轴上坐标为x的点到原点的距离，|x-m|指数轴上坐标为x的点到坐标为m的点的距离.（3）绝对值的运算性质：|ab|=|a|b|；|=（b0）
2、.（4）弄清楚为什么|x|=|-x|，-|x|x|x|.（5）含绝对值不等式定理实际上包括两总分，即|a+b|a|+|b|； |a|-|b|a+b|. 而式与|a|a+b|+|b|等价，再把它改写成|(a+b)+(-b)|a+b|+|-b|.以后，就可以发现本质上与式一样，所以主要是证明式.（6）为了加深对定理的理解，可以向学生指出：定理的左、中、右三部分中，右边是绝对值的和，肯定是非负的；中间是和的绝对值，可能因为a，b一正一负要抵消一部分，但由于是绝对值，仍是非负的；左边是绝对值的差，当b0时，肯定要抵消一部分，而且还可能是负的.这样大、中、小的关系也就容易理解与记忆了.还应指出，此定理在
3、后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义.2.本小节含绝对值不等式定理的推论1还可以推广到n（n是大于2的自然数）个数（或式）的和的绝对值小于或等于这n个数的绝对值的和.推论2与定理虽然形式上有所不同，但实质上是等价的.因为这里a，b是任意实数，所以只要用-b代替b，就可以由其中任何一个推得另一个，因此推论2不必要求学生记忆.3.本小节的重点和难点在于：（1）应用含绝对值不等式定理时，一定要注意等号成立的条件：|a+b|=|a|+|b|ab0；|a-b|=|a|+|b|ab0；|a|-|b|=|a+b|(a+b)b0；|a|-|b|=|a-b|(a-b)b0.（2）含绝对值的不
4、等式的证明题主要分两类，一类是略简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为普通的不等式证明题，或利用不等式性质：|a|-|b|ab|a|+|b|，通过适当的添项或拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，这时，往往可考虑利用恒成立，则特殊情况也成立，或转化为一元二次方程的根分布等证明.（3）含绝对值的不等式成立与否的判断，常可利用绝对值不等式性质，或特殊值法进行.（4）绝对值的定义，几何意义和运算性质，是解决含有绝对值不等式问题的基础.用平方法消去绝对值符号时，要注意不等式两边都必须是非负数；分段讨论消去绝对值符号的原则是“不重、不漏”，一般步骤是：（a）确定代数式的根
5、值，（b）确定分段所得的区间，（c）逐段讨论，（d）求并集.4.课本本小节的三道例题，都是讲含绝对值不等式的证明.例1中，有意使用了字母“”，其目的是为学生以后学习微积分作准备.例2、例3中，都没有使用到刚学过的含绝对值不等式的定理，而是用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证得的，这又一次说明，证明不等式的方法是多样的，一定要灵活掌握.含绝对值符号的不等式近几年在高考试题中出现率比较高.它有时出现在选择、填空题中，内容多以判断、求解、求参数的取值范围等的单纯的绝对值不等式或与其他知识小综合的形式出现，难度属于中低档；有时会与函数、数列、解析几何等综合，以证明、求解、求参数
6、的取值范围等形式出现在解答题中，这时往往较难，需要我们在平时教学过程中根据学生的实际情况逐步进行渗透，以取得较好的效果.课 题6.5.1 含有绝对值的不等式(一)教学目标（一）教学知识点1.含有绝对值不等式的重要性质定理及推论.2.有关简单的含绝对值不等式的证明问题.(二)能力训练要求1.理解和掌握不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|及推论,并会证明这个定理.2.能运用上面的不等式,解决一些简单的有关含绝对值不等式的证明问题.(三)德育渗透目标1.培养学生观察、推理的思维能力.2.使学生树立创新意识.3.运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质.教学重点1.定理|a+b|a|+|b|,可
7、以推广到n个数的形式,即|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|,证明可以依照定理的方法.2.定理中|a|-|b|a+b|a|+|b|,等号成立的条件是:|a|-|b|=|a+b|ab0且|a|b|.|a|+|b|=|a+b|ab03.在有关含绝对值的不等式的证明过程中,要注意运用不等式的性质,绝对值的性质.教学难点定理|a|-|b|a+b|a|+|b|的理解和记忆以及等号成立的条件.教学方法引导学生发现规律,启发诱导教学法.教具准备幻灯片一张记作6.5.1 A(一)绝对值1.定义:|a|=2.基本性质:(1)|a|0;(2)|a|a;(3)|a|-a;(4)|-a|=|a|;(5)-|
8、a|a|a|;(6)|ab|=|a|b|;(7) (b0)3.不等式|x|a(a0)的解集:|x|a:x|-axa:x|xa.(二)不等式的概念、性质定义用不等号(,bba公理2(传递性)ab,bcac公理3(加法法则)aba+cb+c推论:ab,cda+cb+d公理4(乘法法则)ab,c0acbcab,c0acb0,cd0acbd(2)ab0anbn(nN*)(3)ab,ab0公理5（开方法则）ab0(nN且n2)教学过程.课题导入前面，我们学习过绝对值和不等式的性质以及不等式的证明方法.（打出幻灯片6.5.1 A,引导学生阅读,复习巩固绝对值性质和不等式性质,为学习研究含有绝对值的不等式打
9、下基础)我们知道,当a0时,|x|a-axaxa或x2)个数(或式)的和的绝对值小于或等于这n个数的绝对值的和.即|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.(nN且n2).推论2与定理虽然形式上有所不同,但实质上是等价的.这是因为这里a,b是任意实数,所以只要用-b代替b,就可以由其中任一个推得另一个.(二)定理及其推论的应用:例1已知|x|,|y|,|z|,求证：|x+2y-3z|.分析:从所证的不等式来看,左边复杂一些,故利用有关性质把结论左边进行变形,创设利用条件的机会.从目标不等式结构特点观察,显然利用推论1,即|a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3|.证明:|x+2y-3
10、z|x|+|2y|+|-3z|=|x|+|2|y|+|-3|z|=|x|+2|y|+3|z|.|x|,|y|,|z|.|x|+2|y|+3|z|+=即|x+2y-3z|0,b0)及不等式性质可使命题得证.证明:a,b,c,d都是不等式0的实数,|0,|0,|0,|0.|+|2 |+|2 由式,得:师生共析本例的证明,没有使用到刚学过的含绝对值不等式的定理,而是用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证得的.这又一次说明,证明不等式的方法是多样的,一定要灵活掌握.课堂练习1.证明下列不等式:(1)a,bR,求证|a+b|a|+|b|;(2)已知|h|,|k|0),求证:|hk|;(3)已知|h|c,|x|0,0),求证:|.分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算.绝对值性质有:|ab|=|a|b|;|an|=|a|n,|=等.证明:(1)证法一:-|a|a|a|,-|b|b|b|-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|即|a+b|a|+|b|证法二:(平方作差)(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a|b|+b2-(a2+2ab+b2)=2|a|b|-ab)=2(|ab|-ab
