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1、【精品】高一数学 4.11已知三角函数值求角（备课资料） 大纲人教版必修备课资料已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.第三步，如果函数值为负数，则可根据x可能是第几象限角，得出(0，2)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为x1；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1或x12.第四步，如果要求(0，2)以外对
2、应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.在三角题中，常会遇到涉及正、余弦不等式的问题，一般来说，这类问题可利用正、余弦函数的图象来解，其方法是：“大于去看尖，小于去找底”，如下面几例：例1在0，2上满足sinx的x的取值范围是A.0， B.，C.，D.，解析：先画出函数ysinx在0，2上的图象，并在图象的“尖”(即圆弧顶)处找出满足sinx的两点所对应的x的值，即和在0，2上满足sinx的x的取值范围是，.答案：B例2求不等式cosx的解集.解：先画出函数ycosx在0，2上的图象，在“底”处找出满足cosx的两点所对应的x的值为和.在0，2上满足cosx的解是x在R
3、上不等式cosx的解集是x2kx2k，kZ例3求不等式sin(2x)的解集.解：设2xt，则原不等式化为sinx在，上满足sint的t和在，上sint的解是t.在R上不等式sint的解是2kt2k，(kZ)2k2x2k，(kZ)即kxk，(kZ)故不等式sin(2x)的解集是xkxk，kZ例4求不等式2cos ()的解集.解：设t，则原不等式化为：2cost，即cost由图象可知在，上cost的解是t在R上的cost的解是2kt2k，(kZ)2k2k，(kZ)即：4kx4k+(kZ)故不等式2cos()的解集是x4kx4k，kZ例5求函数ylog22sin(3x)的定义域.解：要使函数有意义，
4、必须满足2sin(3x)0 即3xt，则式化为sint由函数ysint在，上的图象可知：在，上sint的解是t在R上sint的解是2kt2k，(kZ)2k3x2k，(kZ)即x，(kZ)不等式的解集即原函数的定义域是xx，kZ练习：(1)已知tan4sin=3，3tan+4sin=1，且是第三象限角，是第四象限象，求、.(2)已知sin=cos，tantan=，0， 求角、.分析：先根据已知条件，求出、的一个三角函数值，再根据求解的步骤求满足条件的角.解：(1)由 得：由tan=1，是第三象限角.=2k+，kZ;由sin=，是第四象限角，=2k，kZ.(2)由 得： 即：cos=sin 由2+
5、2得 cos2=，cos=或 由sin=，得=;由cos=，0，得=.由sin=，得=；由cos=，0，得=.满足条件的、值为评述：在题设条件给出了三角函数关系求角时，先应根据三角化简求值的方法求出角的一个三角函数值，再根据已知值求角的步骤写出满足条件的所有角.备课资料1.设arcsin(),arctan(),arccos()，则、的大小关系是A. B.C.D.解析：答案：C2.下列函数中，存在反函数的是A.ysinx(x，0)B.ysinx(x，)C.ysinx(x，)D.ysinx(x，解析：一个函数是否存在反函数，是由这个函数的性质决定的，若一个函数在指定的区间内是单调的，则此函数在指定
6、区间内有反函数，只要画出以上各函数的图象，就可以断定本题应选D.答案：D3.函数yarccos的值域是A.(0，) B.(0，C.0，)D.(0，解析：010y答案：A评述：解此题时需理解反余弦意义且结合定义域中的隐含条件考虑值域.4.已知sin且(，)，则可以表示成A.arcsin()B.arcsin()C.arcsin()D.arcsin()解析：由10，arcsin()(，0)由此可知：arcsin()(0，)arcsin()(，0)arcsin()(，)它们都不能表示，所以应选D.答案：D评述：本题考查反正弦符号的理解，反三角符号是反三角概念的数学表示，要全面认识.附1：arcsina
7、的含义是什么?当a1时，其含义是：arcsina表示一个角；这个角不小于，不大于，且当0a1时，0arcsina；当1a0时，arcsina0；这个角的正弦值等于a，即sin(arcsina)a.当a1时，arcsina没有意义，这是因为没有一个角的正弦的绝对值能大于1.例1sin(arcsin)能成立吗?其中a0，b0，且ab.解：(ab)20，a2b22ab即1,arcsin没有意义.因此，命题中的等式不能成立.附2：arcsin(sinx)等于x吗?arcsin(sin)arcsin；arcsin(sin)arcsin；它们均满足arcsin(sinx)x.然而，我们绝不能依此归纳出ar
8、csin(sinx)x恒成立，如arcsin(sin)arcsin(sin)arcsin.事实上，arcsinx只能直接表示区间，内的角，因此，等式arcsin(sinx)x成立的条件是x，.同样可知：等式arccos(cosx)x成立的条件是x0，；等式arctan(tanx)x成立的条件是x(，).你只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题可正确迅速地求解.例2设，则arccos(cosx)的值是A. B.C. D.解析：，coscoscos(2)cos又0，arccos(cos)arccos(cos)答案：C例3(2003上海理2)若x=是方程2cos(x+)=1,其中(0,2),则= .解：2cos(x+)=1,cos(x+)=又x=是方程的解.cos(+)=.又(0,2),+(,)+=,.答案：例4(2003北京理,3)“cos2=”是“=k+,kZ”的A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件解：(1)当=k+ (kZ)时2=2k+时cos2=cos(2k+)=.(2)当cos2=时2=2k+或2k+ (kZ)即=k+或k+ (kZ)“cos2=”是“=k+,kZ”的必要非充分条件.答案：A8 / 8
