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1、【精品】高一数学 2.5指数（备课资料） 大纲人教版必修备课资料一、n次方根的定义n次方根的定义是平方根，立方根定义的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广.对比平方根、立方根概念，不难知道：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设aR,n是大于1的奇数，则a的n次方根是.在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等，符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方根没有意义.设a0,n是大于1的偶数，则a的n次方根是.二.开方与乘方求a的n次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混.如求3的四次方，结果是34=81
2、.而求3的四次方根，结果为.对于根式记号,要注意以下几点：nN,且n1.当n为大于1的奇数时，对任意aR都有意义，它表示a在实数范围内惟一的一个n次方根，()n=a.当n为大于1的偶数时，只有当a0时有意义，当a0时无意义. (a0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是-,()n=a.式子对任意aR都有意义.当n为奇数时， =a;当n为偶数时， =|a|=.备课资料一、根式、分数指数幂运算的注意事项1.利用指数幂的意义及运算性质，一般将根式转化为分数指数幂运算.2.在根式运算中，常出现开方与乘方并存的情况，要特别注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，否则就会产生误解：如：，但（）2，
3、这里（）2在实数范围内没有意义.3.分数指数幂严格规定了运算顺序，当a0时，a，不得交换m、n的次序，同时必须注意幂指数不能随意约分，否则就会出错.如：（4）2，而（4）在实数范围内无意义.二、参考练习题例计算下列各式：(1)0.251（）（6）10（2）1（）16(2)（a）3(3) （4）解：(1)原式（）1（）（）（3102）（24）410（2）1024201010212(2)原式（aa）3b4（a2）ab2（b2a）a1b0(3)原式.(4)原式（）（2）（2）220评述：形如 (a0，b0) 的根式称为复合根式，当满足xy0，xya，xyb时，则.备课资料参考例题例1化简分析：化简这
4、类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.解：原式+1.评述：对于这类问题，如果采用负指数幂的定义把负指数化为正指数的方法，则式子将变为繁分式，这样化简起来比较复杂，所以一般采用分式的基本性质，即分子、分母都乘以同一个式子的方法把负指数化为正指数，用这种方法相对简单一些.例2比较，的大小.分析：这个问题实际上要比较：6，15与219的大小，由于它们的指数与底数都不相同，所以可以考虑将它们的指数或底数统一起来.解：6（63）21615（15）225219而216219225所以216219225即评述：对于底数与指数都不
5、相同的式子，比较大小时一般都是考虑将底数或指数中的一个统一起来，这样便于比较大小.例3已知xx3，求的值.分析：解决这个问题的关键是找到已知条件与所求式子的关系.解：由xx3两边平方得：xx17再平方得：x2x247然后对式子xx3两边立方得：xx3（xx）27即xx18所以评述：在指数式的运算性质中，要注意指数的范围不同，底数的范围也不同.例4已知x0，y0，且（）3（5）求：的值.解：由已知x0，y0且（）3（5）得x315y即x15y20，2150.解得：5即5，x25y.所以2.例5已知a0，a2x3，求：的值.解：a0，a2x3，ax.ax，a3x3，a3x.评述：此题解决的关键是恰
6、当寻求已知与所求之间的内在联系.找到a2x与a3x，a3x之间的桥梁ax，ax，使问题得以解决.备课资料参考例题例1计算(1) (2) 解析：对于分数指数幂的运算只要按照分数指数的运算法则进行运算即可，而对于根式的运算，因为我们没有学过根式的运算性质，所以根式的运算一般都要转化为指数式来进行.解：(1) 2(2) 评述：根式的运算都要首先化成分数指数幂的形式，然后再利用分数指数幂的运算性质进行运算，但结果既可以是分数指数幂的形式，也可以是根式的形式.例2化简 分析：这个式子包含三个根式，在化为指数式时要注意层次分明.解：原式=评述：对于多重根式，化简时首先要注意它的层次性，其次若最后结果是分数指数，则一般要写成根式的形式.例3根据下列条件求值(1)已知3，求的值；(2)已知a2x1，求的值.解：(1)由3两边平方得xx-17，两边再平方得x2x-247，又3（71）18.原式.(2)由已知得a-2x原式a2xa-2x121评述：(1)本题是用整体思想解题，用乘法公式对解析式变形化简后，从整体上寻求已知条件与结论的联系.(2)指数的概念扩充后，初中所学的乘法公式和因式分解的变形技巧同样可用.(3)若题从已知条件解出a或ax的值，再代入求值，则会造成运算复杂.(4)应从题目适当变化中体会解题方法的灵活性.如：已知4，x,yb3，求的值.答案：87 / 7
