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1、专题十五坐标系与参数方程挖命题【真题典例】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.极坐标方程能在极坐标中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线的性质2017课标,22,10分极坐标方程与直角坐标方程互化轨迹问题、三角函数求面积最值2016课标,23,10分极坐标方程求参数2015课标,23,10分极坐标方程与直角坐标方程互化三角函数求最值2.参数方程了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2018课标,22,10分参数方程与普通方程互化直线的斜率2014课标,23,10分参数方程三角函数求最值分析解读从近5年的高
2、考情况来看,本专题内容一直是高考命题的热点,以解答题的形式出现,分值为10分.主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与普通方程的互化以及参数方程的应用,尤其是利用椭圆、圆的参数方程求最值及利用直线参数方程中参数的几何意义求值是高考考查的重点.解题时,应熟记互化公式和互化方法,巧妙设取参数,充分利用转化与化归思想在解题中的指导作用.破考点【考点集训】考点一极坐标方程1.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是=4cos.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=m+22t,y=22t(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐
3、标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线=-3与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.解析(1)曲线C的极坐标方程是=4cos.转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.直线l的参数方程为x=m+22t,y=22t(t为参数),转化为直角坐标方程为y=x-m.(2)当m=0时,A22,4,B2,-3,所以SAOB=12222sin3+4=3+1.2.(2018福建福州四校期末联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+cos,y=2+sin(为参数),直线C2的方程为y=3x.以坐标原点O为极点,x轴的正半
4、轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求1|OA|+1|OB|.解析(1)由曲线C1的参数方程为x=2+cos,y=2+sin(为参数)得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为2-4cos-4sin+7=0,由于直线C2过原点,且倾斜角为3,故其极坐标方程为=3(R).(2)由2-4cos-4sin+7=0,=3得2-(23+2)+7=0,设A,B对应的极径分别为1,2,则1+2=23+2,12=7,1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB|OA|OB|=1+212=23+27.考点二参数方程1
5、.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:x=22t,y=-1+22t(t为参数),曲线C的极坐标方程是2-6cos+1=0,l与C相交于A、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为x=22t,y=-1+22t(t为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是2-6cos+1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程x=22t,y=-1+22t(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0
6、,得到t2-42t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,则|MA|MB|=|t1t2|=2.2.(2017河北衡水中学期末,22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cos+2sin=0,2=4cos2+4sin2.(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程;(2)若点Q是椭圆C上的动点,求点Q到直线l的距离的最大值.解析(1)cos+2sin=0cos+2sin=0x+2y=0.2=4cos2+4sin22cos2+42sin2=4x2+4y2=4x24+y2=1.所以直线l与椭圆C的直角坐标方程分别为x+2y=
7、0,x24+y2=1.(2)因为椭圆C:x24+y2=1的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数),所以可设点Q(2cos,sin),因此点Q到直线l:x+2y=0的距离d=|2cos+2sin|12+22=22|sin+4|5,所以当+4=k+2(kZ),即=k+4(kZ)时,d取最大值2105.炼技法【方法集训】方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(2018河南濮阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3+2cos,y=1+2sin(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)过原点O的直线l1,l2分
8、别与曲线C交于除原点外的A,B两点,若AOB=3,求AOB的面积的最大值.解析(1)曲线C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=4,即x2+y2-23x-2y=0,所以,曲线C的极坐标方程为2-23cos-2sin=0,即=4sin+3.(2)不妨设A(1,),B2,+3,-2,2.则1=4sin+3,2=4sin+23,AOB的面积S=12|OA|OB|sin3=1212sin3=43sin+3sin+23=23cos2+333.所以,当=0时,AOB的面积取最大值33.方法2参数方程与普通方程的互化方法(2018河北五个一名校第二次联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a
9、,1),其参数方程为x=a+2t2,y=1+2t2(t为参数,aR).以O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos-=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.解析(1)曲线C1的参数方程为x=a+2t2,y=1+2t2(t为参数,aR),曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0.曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos-=0,2cos2+4cos-2=0,又cos=x,2=x2+y2,x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A
10、,B两点所对应的参数分别为t1,t2,由y2=4x,x=a+2t2,y=1+2t2得t2-22t+2-8a=0.则=(-22)2-4(2-8a)0,即a0,t1+t2=22,t1t2=2-8a,根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,由|PA|=2|PB|得t1=2t2或t1=-2t2,当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=22,t1t2=2t22=2-8a,解得a=1360,符合题意;当t1=-2t2时,有t1+t2=-t2=22,t1t2=-2t22=2-8a,解得a=940,符合题意.综上所述,a=136或a=94.过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题
11、组考点一极坐标方程1.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解析本题考查极坐标方程及其应用.(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos(0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的
12、极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB面积S=12|OA|BsinAOB=4cossin-3=2sin2-3-322+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.2.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1
13、,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或
14、k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.方法总结极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有cos,sin,2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.(2)巧借两角和差公式,转化成sin(+)或cos(+)的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.(3)将直角坐标方程中的x转化为cos,将y转化为sin,即可得到极坐标方程.考点二参数方程1.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解析(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos0时,l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t
