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1、2.4指数与指数函数挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点指数、指数函数的图象与性质了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型2017课标,11,5分大小比较2016课标,6,5分指数式大小比较幂函数2015天津,7,5分指数函数性质对数函数2015山东,14,5分指数函数性质函数的单调性分析解读1.会利用指数幂的运算法则进行幂的运算.2.结合指数函数的图象与性质比较大小,解指数方程或不等式,求复合函数的单调性、最值、参
2、数范围等.3.高考命题多以指数函数为载体,考查指数函数的图象、性质及应用,分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一指数及指数幂的运算1.(2017河北八所重点中学一模,6)设a0,将a2a3a2表示成分数指数幂的形式,其结果是()A.a12B.a56C.a76D.a32答案C2.(2018河南南阳第一中学第二次考试,13)计算0.02713+2560.75-41727-13-72916=.答案60.7考点二指数函数的图象与性质1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,9)函数y=12x2-2x的值域为()A.12,+B.-,12C.0,12D.(0,2答案D2.(2018河南八市第一次
3、测评,10)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0.1的大小关系是()A.M=NB.MNC.MN答案D3.(2017河南濮阳第二次检测,15)若“ma”是“函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为.答案-1炼技法【方法集训】方法1比较幂值的大小(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0ab(1-a)bB.(1-a)b(1-a)b2C.(1+a)a(1+b)bD.(1-a)a(1-b)b答案D方法2探究指数型函数的性质1.(2019届黑龙江哈尔滨第三中学第一
4、次调研,6)函数f(x)=24x-x2的单调增区间是()A.(-,2B.0,2C.2,4D.2,+)答案B2.(2017河北承德实验中学期中,21)已知函数f(x)=2x-12|x|.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)当x0时,f(x)=0,当x0时,f(x)=2x-12x,由题意可得,2x-12x=2,即22x-22x-1=0,解得2x=12,2x0,2x=1+2,x=log2(1+2).(2)当t1,2时,2t22t-122t+m2t-12t0,即m(22t-1)-(24t-1).22t-10,m-(22t
5、+1).t1,2,-(1+22t)-17,-5,故m的取值范围是-5,+).过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组(2017课标,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x5z答案DB组自主命题省(区、市)卷题组1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cb0,且a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=.答案-32C组教师专用题组1
6、.(2018上海,11,5分)已知常数a0,函数f(x)=2x2x+ax的图象经过点Pp,65、Qq,-15.若2p+q=36pq,则a=.答案62.(2015江苏,7,5分)不等式2x2-x4的解集为.答案x|-1xbcB.acbC.bcaD.bac答案D4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y=sinxB.y=x3C.y=12xD.y=log2x答案B5.(2018福建泉州晋江平山中学期中,6)若函数f(x)=3-|x-1|+m的图象与x轴没有交点,则实数m的取值范围是()A.m0或m0或m1或m0D.m1或mb)
7、的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是()答案C7.(2017安徽江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A.f(bx)f(cx)B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx)D.与x有关,不确定答案A8.(2018重庆万州二模,11)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,使得ABC为等边三角形,则这样的直线l()A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条答案B二、填空题(每小题5分,共10分)9.(20
8、18湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=2x1+a2x(aR)的图象关于点0,12对称,则a=.答案110.(2018广东六校第三次联考,14)已知函数f(x)=asinx-bcosx,若f4-x=f4+x,则函数y=3ax+b+1的图象恒过点.答案(1,3)三、解答题(共25分)11.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x1ax+1-12,其中a0,且a1.(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若关于x的不等式f(x)16|x|在-1,1上恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R.任取xR,则f(
9、-x)=-x1a-x+1-12=x12-axax+1,f(x)-f(-x)=x1ax+1-12-x12-axax+1=x1+axax+1-1=0,f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,则不等式f(x)16|x|在-1,1上恒成立,等价于f(x)16x在0,1上恒成立,显然,当x=0时,上述不等式恒成立;当x0时,上述不等式可转化为1ax+1-1216,ax12在0,1上恒成立,12a1,实数a的取值范围是12,1(1,+).12.(2017山东潍坊期中,20)已知函数f(x)=1-42ax+a(a0,且a1)且f(0)=0.(1)求a的值;(2)若函
10、数g(x)=(2x+1)f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;(3)当x(0,1)时,f(x)m2x-2恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)对于函数f(x)=1-42ax+a(a0,且a1),由f(0)=1-42+a=0,得a=2.(2)由(1)知f(x)=1-422x+2=1-22x+1.因为函数g(x)=(2x+1)f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k有零点,所以函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,1-k0,即km2x-2恒成立,即1-22x+1m2x-2恒成立,亦即m32x-22x(2x+1)恒成立,令t=2x,则t(1,2),且m12+22+1=76,m76.思路分析(1)由f(0)=0求出a;(2)分离参数,转化为y=2x与y=1-k的图象有交点;(3)转化为m32x-22x(2x+1),换元,转化为最值问题.
