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1、,2.1.1合情推理,合情推理是冒险的、 有争议的、和暂时的 -波利亚,佛教百喻经中有这样一则故事。 从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:要甜的,好吃的,你才买.仆人拿好钱就去了.到了果园,园主说:我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看.仆人说:我尝一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠.仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.,第一个芒果是甜的,第二个芒果是甜的,第三个芒果是甜的,这个果园的芒果都是甜的,在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。,例如：医生诊断病人的病症，警察侦破
2、案件，考古学家推断遗址的年代,推理与证明,推理,证明,第二章 推理与证明,已知的判断,新的判断,根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.,6 33 10 37 12 57,数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的过程：,归纳推理的过程：,由某类事物的 具有某些特征, 推出该类事物的 都具有这些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,铜能导电 铝能导电 金能导电 银能导电,三角形内角和 为 凸四边形内角 和为 凸五边形内角 和为,第一个芒果是甜的 第二个芒果是甜的 第三个芒果是甜的,第一个数
3、为2 第二个数为4 第三个数为6 第四个数为8,部分 个别,整 体 一 般,观察下图,可以发现,1+3+(2n1)=n2,1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ,1，3，5，7，由此你猜想出第 个数是_.,这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.,试一试,成语“一叶知秋”,统计初步中的用样本估计总体,通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断.,意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知整体.,例1.已知数列 的第一项 =1, 且 ( 1，2，3，)， 请
4、归纳出这个数列的通项公式为_.,让我们一起来归纳推理,例2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱
5、,5,5,8,四棱锥,9,16,9,尖顶塔,6,9,5,9,5,5,8,16,9,6,8,12,6,4,4,12,8,6,猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：,FVE2,欧拉公式,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、获得新结论,由部分到整体、 个别到一般的推理,注意,归纳推理的结论不一定成立,反例,归纳推理的结论不一定正确,春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,他的思路是这样的：,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的
6、.,这个推理过程是归纳推理吗？,思考1,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.,类比推理,我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.,你对“等差数列”、“等比数列” 的性质做过类比吗？,等差数列的定义：从第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数的数列.,等比数列的定义：从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数的数列,通项,若 则,若 则,成等比
7、,实例,例3、试根据等式的性质猜想不等式的性质.,让我们一起来类比推理,例3、试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,类比推理的结论不一定成立.,探究,例4、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,例4、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直
8、径周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆.,与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.,以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,感悟,开普勒(Kepler,1571-1630)说: “我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.”,数学家波利亚(Polya)曾指出：“类比是一个伟大的引路人”,类比推理,以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能,由特殊到特殊的推理,类比推理的结论
9、不一定成立,注意,总结：1.进行类比推理的步骤：,(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；,(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；,(3)检验这个猜想.,2、类比推理的一般模式:,所以B类事物可能具有性质d.,A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,归纳
10、推理和类比推理的过程,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,1,2,3,游戏：河内塔,课外思考,2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能
11、移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？,1,2,3,让我们一起来归纳推理,1,2,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,2时，,1,2,3,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,n3时，,前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.,7,2时，,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,1,2,3,猜想 an=,2n -1,3.(05年广东)设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数.,当n 3 时, f(n)= .(用n表示),让我们一起来归纳推理,例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,s1,s2,s3,c2=a2+b2,让我们一起来类比推理,观察下面图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ） A. B. C. D. ,善于观察勤于思考敢于猜想的人,常常会冒出创造的灵感火花 !,
