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1、1,7.1 一元多项式环的概念及其通用性质,一、多项式 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表示式 anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , 其中an, an-1,a1, a0全属于数域K,称为系数在 数域K中的一元多项式,简称数域K上的一元多 项式.,注: (1) 一元多项式指只含一个变量. (2) n是非负整数. (3) 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g等.,设数域K上的多项式 f(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , (1) an,an-1,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0的多项式称为零多项式,记作0. (2) akxk (k
2、=n,n-1,1,0)称为f(x)的k次项,ak称为f(x)的k次项系数. (3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.,(5) 非零常数是零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.,(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项, an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数, 常记作degf(x),或,二 多项式的运算,设 f(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , g(x) = bmxm+bm-1xm-1+b1x+b0 , 1、相等: f(x)=g(x) 若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等.
3、2、加(减)法: f(x)g(x) 将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减); 若mn时,为方便,可设 bm+1=bm+2= b n-1=b n =0. f(x)g(x)= (anbn)xn+(an-1bn-1)xn-1+ + (a1b1)x+(a0b0)=,3、乘法: f(x)g(x) 将f(x),g(x)的各个项分别相乘后合并同类项. f(x)g(x)=(anxn+an-1xn-1+a1x+a0)(bmxm +bm-1xm-1+b1x+b0) 注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0kn+m)的系数是 a0bk+a1bk-1+ak-1b1+akb0 其中,若in,则ai=0;若jm,则
4、bj=0. (2)乘法运算式可按竖式进行.,乘法运算式,例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 f(x)=2x2+3x-1, ) g(x)=x3+2x2-3x+2 . 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2,一些性质,1、数域K上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得的结果仍然是数域K上的多项式 2、deg(f(x)g(x)max(deg f(x),deg g(x) deg(f(x)g(x)=deg f(x)+deg g(x) 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x)的首项系数之积.,运算规律,1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律 定义 所有系数在数域K中的一元多项式全体,称为数域K上的一元多项式环,记作Kx, P称为Kx的系数域.,设,(2) 在复数域上(1)是否成立？,练习：,(1) 证：若,则,于是,为奇数.,故,从而,从而,这与已知矛盾.,(2) 在 C上不成立如取,从而必有,又 均为实系数多项式 ，,
