《苏教版初三数学下册《专题讲座：存在性问题(1)》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版初三数学下册《专题讲座：存在性问题(1)》（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等腰三角形的存在性问题 一、重点知识和解题策略 一般有直角三角形、 等腰三角形、等边三角形或等腰直角三角形存在性问题。 解题策略首先明确分类，然后利用图形的性质适当转化，构造方程（组）或直接 计算求出满足存在条件的量。 二、热身运动 1图 1，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A（ 4，0） ，B（1，0）两点，过点 B 的直线 y=kx+分别与 y 轴及抛物线交于点C，D （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点 P 从点 O 出发，在 x 轴的负半轴上以每秒1 个单位长度的速度向左匀 速运动，设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， PDC 为直角三角形？请直接写出 所有满足条
2、件的 t 的值； （3）如图 2，将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后，与 x 轴，y 轴分别交于 E， F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF 上是否存在点N，使 DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N 的坐标；若不存在，请说 明理由 三、例题学习 例 1：如图，抛物线 L：y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B（3，0）两点（ A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，已知对称轴 x=1 （1）求抛物线 L 的解析式； （2）设点 P 是抛物线 L 上任一点，点 Q 在直线 l：x=3 上，PBQ能否成 为以点 P 为直角顶点的等
3、腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标； 若不能，请说明理由 例 2如图，已知平面直角坐标系中，直线y= 1 2 x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，与直线 y=x 交于点 C已知点 P 是 x 轴上的一点，若 COP是等腰三 角形，直接写点 P 的坐标 例 3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2 bxax与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为D， 与抛物线的对称轴交于点E，连接 CE，已知点 A，D 的坐标分别为（ 2，0） ， （6，8） （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点 E
4、 的坐标 （2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE，若存在，请直接写 出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m） ，直线 PB 与 直线 l 交于点 Q试探究：当 m 为何值时，OPQ是等腰三角形 Q P H O B y x O B y x P Q F O B y x P Q 四、自我挑战 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 8y 2 bxax与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于 点 C， 直线 l 经过坐标原点O， 与抛物线的一个交点 为 D，与抛物线的对称轴交于点E，连接 CE，已知 点 A， D 的坐标分
5、别为（2， 0） ， （6， 8） （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点 E 的坐标 （ 2） 试 探 究 抛 物 线 上 是 否 存 在 点F ， 使 FOEFCE，若存在， 请直接写出点F 的坐标； 若不存在，请说明理由 （3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m） ，直线 PB 与直线 l 交于 点 Q试探究：当m 为何值时，OPQ 是等腰三角形 等腰三角形的存在性问题 参考答案： 二、热身运动 1.解析 ： （1）把 A（4，0） ，B（1，0）代入 y=ax2+2x+c，得 ，解得：， 抛物线解析式为： y=，过点 B 的直线 y=kx+，代入（ 1
6、，0） ， 得：k=，BD 解析式为 y=； （2）由得交点坐标为 D（5，4） ， 如图 1，过 D 作 DEx 轴于点 E，作 DFy 轴于点 F， 当 P1DP1C时，P1DC 为直角三角形， 则DEP1P1OC， =，即=， 解得 t=， 当 P2DDC 于点 D 时，P2DC为直角三角形 由P2DBDEB 得=， 即=， 解得： t=； 当 P3CDC 时，DFCCOP3， =，即=， 解得： t=， t 的值为、 （3）由已知直线 EF 解析式为： y=x， 在抛物线上取点 D 的对称点 D ，过点 D 作 D N EF 于点 N，交抛物线对称轴于 点 M 过点 N 作 NHDD
7、于点 H，此时， DM+MN=DN最小 则EOFNHD 设点 N 坐标为（ a，） ， =，即=，解得：a=2，则 N 点坐标为（2，2） ， 求得直线 ND 的解析式为 y=x+1，当 x=时，y=， M 点坐标为（，） ，此时，DM+MN 的值最小为= =2 三、自我挑战 Q P H O B 图 5 y x O B 图 6 y x P Q F O B 图 7 y x P Q 分析 ：前面 2 问略，主要分析第（3）问如图5，作 QHx 轴于点 H 根据前面两问可求出，点B 的坐标为（ 8，0） ，直线 l 的函数表达式为xy 3 4 根据 直线 l 的函数表达式为xy 3 4 ，可得 3
8、4 OH QH 设 OH=3n，则 QH=4n，OQ=5n 所以 cosPOQ=cosOQH= 5 4 OQ QH 由 BO BH PO QH ，得 8 384n m n ，解得 323 8 m n n，所以 OQ=5n= 323 40 m m 这就把直线 l 的函数表达式为xy 3 4 隐含的几何条件和其它与坐标轴围成的相关三角 形的性质转移到 POQ 中 这时， POQ 中，mOP， OQ= 323 40 m m ， cos POQ= 5 4 充 分利用这些条件和等腰三角形的性质即可解决问题 分三种情况讨论： 如图 6，当 OP=OQ 时，解方程 323 40 m m m，得 3 8 m（
9、m=0 舍去） 如图7，当QP=QO 时，根据等腰三角形的“三线合一”和cosPOQ= 5 4 ，得 2 1 OP= 5 4 OQ解方程 323 40 5 4 2 1 m m m，得 3 32 m（m=0 舍去） 当PO=PQ时 ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 “ 三 线 合 一 ” 和 cosPOQ= 5 4 ，得 2 1 OQ= 5 4 OP解方程m m m 5 4 323 40 2 1 ，得 3 7 m或 m=0此时点 P 在 y 轴的正半轴上或原点，不合题意， 舍 去，如图8 下面再与大家分享两种解法，供大家比较 （3）解法一：分两种情况： 当OQOP时，OPQ 是等腰三角形 点
10、E 的坐标为（ 3， 4） ，543 22 OE，过点 E 作直线 ME/PB，交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 H，则 OQ OE OP OM ，5OEOM，点 M 的坐标为（ 0， 5） 设直线 ME 的表达式为 5 1x ky ， 453 1 k ，解得 3 1 1 k ，ME 的函数表达式为 5 3 1 xy ，令 y=0，得 05 3 1 x ，解得 x=15，点 H 的坐标为（ 15，0） F O B 图 8 y x P Q 图1 又MH/PB ， OH OB OM OP ，即 15 8 5 m ， 3 8 m 当QPQO时，OPQ 是等腰三角形 当 x=0 时，883 2 12
11、 xxy，点 C 的坐标为（0， 8） ，5)48(3 22 CE， OE=CE ，21，又因为QPQO，31，32，CE/PB 设直线 CE 交 x 轴于点 N，其函数表达式为8 2x ky，483 2 k， 解得 3 4 2 k， CE 的函数表达式为 8 3 4 xy ，令y=0，得 08 3 4 x ，6x，点N 的坐标为（6， 0） CN/PB， ON OB OC OP ， 6 8 8 m ，解得 3 32 m 综上所述，当m 的值为 3 8 或 3 32 时，OPQ 是等腰三角形 解法二 ： 当 x=0 时，883 2 12 xxy，点 C 的坐标为（ 0， 8） ，点 E 的坐标
12、为（ 3， 4） ，543 22 OE，5)48(3 22 CE，OE=CE ，21，设抛物线的 对称轴交直线PB 于点 M，交 x 轴于点 H分两种情况： 当QPQO时，OPQ 是等腰三角形31，32，CE/PB 又HM/y轴 ，四 边 形PMEC是 平 行 四 边 形 ，mCPEM8， 5384)8(4BHmmEMHEHM，HM/y 轴，BHMBOP， BO BH OP HM 3 32 8 54 m m m 当OQOP时，OPQ 是等腰三角形 yEH /轴，OPQ EMQ ， OP EM OQ EQ ，EMEQ mmOPOEOQOEEQEM5)(5，)5(4mHM，yEH /轴， 图9 图10 BHMBOP， BO BH OP HM 3 8 8 51 m m m 当 m 的值为 3 8 或 3 32 时，OPQ 是等腰三角形 评注 ：将到其它的图形中的性质转移到等腰三角形中来，再结合等腰三角形的性质进行 问题求解 首先挖掘目标等腰三角形外的图形的隐含条件，如本题中的两个与坐标系有关的 三角形以及一次函数隐含的几何性质，然后通过转化， 将其转移到等腰三角形中解决问题 时，一定要眼光开阔，不能只局限于目标三角形 图11 图11
