小学六年级奥数教案

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1、小学六年级奥数教案：行程问题小学六年级奥数教案：行程问题 第一讲 行程问题 走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量： 距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如 1 小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度时间 很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这 是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的， 例如 总量=每个人的数量人数. 工作量=工作效率时间. 因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧， 就能解

2、其他类似的问题. 当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多 彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点 内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方 法和处理技巧. 这一讲，用 5 千米/小时表示速度是每小时 5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒 3 米 一、追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过 了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一 段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设 甲走得快，乙走得慢，在

3、相同时间内， 甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度时间-乙的速度时间 =(甲的速度-乙的速度)时间. 通常，“追及问题”要考虑速度差. 例 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米，小轿车和面包车同时从学校 开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，当面包车到达 城门时，小轿车已离城门 9 千米，问学校到城门的距离是多少千米? 解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间. 此时， 小轿车比面包车多走了9千米， 而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时， 因此 所用时间=96=1.5(小时). 小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门 9

4、 千米，说 明小轿车的速度是 面包车速度是 54-6=48(千米/小时). 城门离学校的距离是 481.5=72(千米). 答：学校到城门的距离是 72 千米. 例 2 小张从家到公园，原打算每分种走 50 米.为了提早 10 分钟到，他把速度加 快，每分钟走 75 米.问家到公园多远? 解一：可以作为“追及问题”处理. 假设另有一人，比小张早 10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速度去追赶，追上 所需时间是 50 10(75- 50)= 20(分钟)? 因此，小张走的距离是 75 20= 1500(米). 答：从家到公园的距离是 1500 米. 还有一种不少人采用的方法. 家到公园的距

5、离是 一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解 法呢?对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路. 例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进， 有一辆汽车要去追赶.如果速度是 30 千米/小时， 要 1 小时才能追上;如果速度是 35 千米/小时， 要 40 分钟才能追 上.问自行车的速度是多少? 解一：自行车 1 小时走了 301-已超前距离， 自行车 40 分钟走了 自行车多走 20 分钟，走了 因此，自行车的速度是 答：自行车速度是 20 千米/小时. 解二：因为追上所需时间=追上距离速度差 1 小时与 40 分钟是 32.所以两者的速度

6、差之比是 23.请看下面示意图： 马上可看出前一速度差是 15.自行车速度是 35- 15= 20(千米/小时). 解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后， 非常便于心算. 例 4 上午 8 点 8 分， 小明骑自行车从家里出发， 8 分钟后， 爸爸骑摩托车去追他， 在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家， 到家后又立刻回头去追小明， 再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分? 解：画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米). 而爸爸骑的距离是 4+ 8= 12(千米). 这就知道， 爸爸

7、骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 124=3(倍).按照这个倍 数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 83=24(千米). 但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 4+12=16(千米). 少骑行 24-16=8(千米). 摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟. 8+8+16=32. 答：这时是 8 点 32 分. 下面讲“相遇问题”. 小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张 一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度时间+乙的速度时间 =(甲的速度+乙的速度)时间. “相遇问题”，常

8、常要考虑两人的速度和. 例 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇? 解 ： 走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 3612=3(倍)，因此自 行车的速度是步行速度的 3 倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是 小张步行走的距离的 3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4 段，小王走 了 3 段，小张走了 1 段，小张花费的时间是 36(3+1)=9(分钟). 答：两人在 9 分钟后相遇. 例 6 小张从甲地到乙地， 每小时步行 5 千米， 小王从乙地到甲地， 每小时步行 4 千米.两人同时出发

9、，然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙 两地间的距离. 解：画一张示意图 离中点 1 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多 1 千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2 千米 小张比小王每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是 2(5-4)=2(小时). 因此，甲、乙两地的距离是 (5+ 4)2=18(千米). 本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及” 的特点吗?对小学的应用题， 不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本 质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要

10、针对题目中的条件好好想一想.千万 不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”. 请再看一个例子. 例 7 甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于 C 点. 如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相 向而行， 则相遇地点距 C 点 12 千米;如果乙车速度不变， 甲车每小时多行 5 千米， 且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米.求 A，B 两地距离. 解：先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于 D 点， 甲加速后与乙相遇于 E 点.同时出发后的相遇时间， 是由速度和决定

11、的.不论甲加速， 还是乙加速， 它们的速度和比原来都增加5千米， 因此，不论在 D 点相遇，还是在 E 点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题 的关键. 下面的考虑重点转向速度差. 在同样的时间内，甲如果加速，就到 E 点，而不加速，只能到 D 点.这两点距离 是 12+ 16= 28(千米)， 加速与不加速所形成的速度差是 5 千米/小时.因此， 在 D 点 (或 E 点)相遇所用时间是 285= 5.6(小时). 比 C 点相遇少用 6-5.6=0.4(小时). 甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时，少走 12 千米，因此甲的 速度是 120.4=30(千米/小时).

12、 同样道理，乙的速度是 160.4=40(千米/小时). A 到 B 距离是(30+ 40)6= 420(千米). 答： A，B 两地距离是 420 千米. 很明显，例 7 不能简单地说成是“相遇问题”. 例 8 如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是 6 千米/小时，平路速度都是 4 千 米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时. 问 ： (1)小张和小王分别从 A， D 同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇? (2)相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少

13、 千米? 解：(1)小张从 A 到 B 需要 1660= 10(分钟);小王从 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660= 25(分钟);当小王到达 C点时， 小张已在平路上走了 25-10=15(分钟)， 走了 因此在 B 与 C 之间平路上留下 3- 1= 2(千米)由小张和小王共同相向而行， 直到 相遇，所需时间是 2 (4+ 4)60= 15(分钟). 从出发到相遇的时间是 25+ 15= 40 (分钟). (2)相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A 点需要走 1260=30 分钟，即他再走 60 分钟到达终点. 小张走 15 分钟平路到达 D 点，45 分

14、钟可走 小张离终点还有 2.5-1.5=1(千米). 答：40 分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有 1 千米. 二、环形路上的行程问题 人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关. 例 9 小张和小王各以一定速度， 在周长为 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度 是 180 米/分. (1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张 的速度是多少米/分? (2)小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次 追上小王? 解 ： (1 )75 秒-1.25 分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度 是

15、5001.25-180=220(米/分). (2)在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因 此需要的时间是 500(220-180)=12.5(分). 22012.5500=5.5(圈). 答：(1)小张的速度是 220 米/分;(2)小张跑 5.5 圈后才能追上小王. 例 10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向 行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米;在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长. 解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;第二次相遇，两个人合起来又走了 一圈.从出发开

16、始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来 所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离， 应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是 803=240(米). 240-60=180(米). 1802=360(米). 答：这个圆的周长是 360 米. 在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一 节. 例 11 甲村、乙村相距 6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村 之间往返行走(到达另一村后就马上返回).在出发后40分钟两人第一次相遇.小王 到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度 各是多少? 解：画示意图如下： 如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了 甲、乙两村间距离的 3 倍，因此所需时间是 40360=2(小时). 从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了 62-2=10(千米). 小王已走了 6+2=8(千米). 因此，他们的速度分别是 小张 102=5(千米/小时)， 小王 82