《三角函数知识点归纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数知识点归纳（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 三角函数三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1任意角1任意角 (1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角x 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为 36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为 360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为 360270360360
2、 ,kkk 终边在轴上的角的集合为x 180 ,kk 终边在轴上的角的集合为y 18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk (2)终边与角 相同的角可写成 k360(kZ)终边与角相同的角的集合为 360,kk (3)弧度制 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 弧度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度 半径为 的圆的圆心角所对弧的长为 ，则角的弧度数的绝对值是rl l r 若扇形的圆心角为，半径为 ，弧长为 ，周长为，面积为，则， 为弧度制rlCSlr2Crl 2 11 22 Slrr 2任意角的三角函数定义 2任意角的三角函数定义 设 是
3、一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离为，那么角 的正弦、余弦、 22 r rxy 正切分别是：sin ，cos ，tan （三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三 y r x r y x 正切、四余弦）正切、四余弦） 3特殊角的三角函数值3特殊角的三角函数值 2 角度 函数 030456090120135150180270360 角 a 的弧度0/6/4/3/22/33/45/63/22 sina01/22/23/213/22/21/20-10 cosa13/22/21/20-1/2-2/2-3/
4、2-101 tana03/313-3-1-3/300 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 A.A.基础梳理 1同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：tan . （3）倒数关系： sin cos 1cottan 2诱导公式2诱导公式 公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_， 其中 kZ.tan)2tan( k 公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan . 公式三：sin()sin ，cos()c
5、os_， tantan 公式四：sin()sin_，cos()cos_，.tantan 公式五：sincos_，cossin . ( 2) ( 2) 公式六：sincos_，cossin_. ( 2) ( 2) 诱导公式可概括为k 的各三角函数值的化简公式口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇 2 2 数倍和偶数倍， 变与不变是指函数名称的变化 若是奇数倍， 则函数名称要变(正弦变余弦， 余弦变正弦)； 若是偶数倍， 则函数名称不变，符号看象限是指：把 看成锐角时，根据k 在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为 2 结果符号 B.B.方法与要点 一个口
6、诀 1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限 2、四种方法 在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式 tan 化成正、余弦 sin cos (2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化 （、三个式子知一可求二）cossincossincossin (3)巧用“1”的变换：1sin2cos2= sintan 2 4 3 （4）齐次式化切法：已知，则ktan nmk bak nm ba nm ba tan tan cossin cossin 三、三角函数的图像与性质三、三角函数的图像与性质 学习目标：学习目标： 1 会求三角函数的
7、定义域、值域 2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如与的周期是） 。 xysinxycos 3 会判断三角函数奇偶性 4 会求三角函数单调区间 5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴 6 知道，的简单性质sin()yAxcos()yAxtan()yAx （一） 知识要点梳理（一） 知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象：、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别sinyxcosyx 为 0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 3 , ,2 22 1 -1 y=sinx -3 2 -5
8、2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3-2 43 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x 2、正弦函数、余弦函数的性质2、正弦函数、余弦函数的性质：sin ()yx xRcos ()yx xR （1）定义域（1）定义域：都是 R。 （2）值域（2）值域：都是，1,1 对，当时，取最大值 1；当时，取最小值1；sinyx2 2 xkkZ y 3 2 2 xkkZ y 对，当时，取最大值 1，当时，取最小值1。cosyx2xkkZy2xkkZy （3）周期性（3
9、）周期性：，的最小正周期都是 2；sinyxcosyx （4）奇偶性与对称性（4）奇偶性与对称性： 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；sin ()yx xR,0kkZ 2 xkkZ 余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线； （正(余)cos ()yx xR,0 2 kkZ xkkZ 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点） 。xx （5）单调性（5）单调性： 上单调递增，在单调递减；sin2,2 22 yxkkkZ 在 3 2,2 22 kkkZ 在上单调递增,在上单调递减。 特别提醒特别提醒， 别忘了！cosyx2,2kkkZ2,2kkkZ
10、kZ 4 3、正切函数的图象和性质3、正切函数的图象和性质：tanyx （1）定义域：。 |, 2 x xkkZ （2）值域是 R，无最大值也无最小值； （3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一,0 2 k kZ 类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。xx （4）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性要注意在整个定义域上不具有单调性。, 22 kkkZ 4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 sinyxcosyxtany
11、x 图象 定义域RR , 2 x xkk 值域 1,11,1 R 最值 当时，2 2 xk k ；当 max 1y2 2 xk 时，k min 1y 当时， 2xkk ；当 max 1y2xk 时，k min 1y 既无最大值也无最小值 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk 上是增函数；在k 3 2,2 22 kk 上是减函数k 在上 是2,2kkk 增函数；在2,2kk 上是减函数k 在, 22 kk 上是增函数k 对称性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心,0 2 k k 无对称轴 5、研究函数性质的方法：类比
12、于研究的性质5、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看sin()yAxsinyxsin()yAxx 函 数 性 质 5 成中的。sinyxx 函数函数 yAsin（x） （） （A0，0）的性质。）的性质。 （1）定义域：R （2）值域：-A, A （3）周期性： 2 | T 和的最小正周期都是。( )sin()f xAx( )cos()f xAx 2 | T 的最小正周期都是。( )tan()f xAx | T （4）单调性：函数 yAsin（x） （A0，0）的 单调增区间可由 2kx2k，kz 解得； 2 2 单调减区间可由 2kx2k，kz 解得。 2 3 2 在求的单调区
13、间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正。求的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正。sin()yAx 如如函数的递减区间是_2 3 ysin(x) （答： 解 析 ：解 析 ： y=， 所 以 求， 所 以 求 y 的 递 减 区 间 即 是 求的 递 减 区 间 即 是 求 的递增区间，由得的递增区间，由得 ，所以 y 的递减区间是 四、函数的图像和三角函数模型的简单应用四、函数的图像和三角函数模型的简单应用sinyAx 一、知识要点 1、 几个物理量1、 几个物理量： 振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：A 2 1 2 f x 2、 函数表达式的确定2、
14、 函数表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.sin()yAx 函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则sinyx A 1 xx min y 2 xx max y ， maxmin 1 2 yyA maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 3、函数图象的画法3、函数图象的画法 ： “五点法”设，令0，求出相应的值，sin()yAxXxX 3 , ,2 22 x 计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4、4、函数 ysinx 的图象经变换可得到的图象sinyAx 0 6 y=sinx y=sinx XXXx xx 横
15、坐标 伸（缩） 1 倍 左（右） 平移 纵坐标 伸（缩）A 倍 sinyx sinyx xAysin y=sinx 左（右） 平移 纵坐标 伸 （缩） A 倍 横坐标 伸 （缩）倍 1 左（右） 平移 xAysin xAysin 横坐标 伸（缩） 倍 横坐标 伸（缩） 1 倍 sinyAx 纵坐标 伸（缩）A 倍 横坐标 伸(缩)倍 1 xysin xAysin xysin sinyAx 纵坐标 伸（缩）A 倍 左（右） 平移 左（右） 平移 纵坐标 伸（缩）A 倍 5、函数的图象与图象间的关系5、函数的图象与图象间的关系 ： 函数的图象向左（0）或向右（0）sin()yAxbsinyxsinyx 平移个单位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函|sinyxsinyx 1 数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sinyxsinyx 的图象；函数图象向上（）或向下（）平移个单位，得到sin()yAxsin()yAx0b 0b |b 的图象。sinyAxb 要特别注意特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，sinyxsinyx| 如如要得到函数 ysin(2x )的图象，只需将函数 ysin2x 的图象( ) 3 (A)向左平移 个单位
