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1、数学物理方法,南昌大学物理系 杨小松 2014年2月,第五节 平面标量场,用复变函数表示平面标量场,在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。,取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为,理想流体定常流,平面温度场,例题：P18 例1、例2,第六节 多值函数,根式函数,记,支点 n-1阶支点 一阶支点,Riemann面,黎曼面,
2、第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数的积分,2.2 科西定理,2.3 不定积分,2.4 科西公式,性质,路积分的计算方法,1. 归为二元函数的积分来计算，计算公式为,2. 参数方程的表达形式C: z=z(t),举例,其中：(1) C为由原点到(1,0)再到(1,1)的折线； (2) C为由原点到 (1,1)的直线,计算积分：,计算积分：,定义：绝对收敛与条件收敛,称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的,定理三：收敛的必要条件,级数 收敛的必要条件是,定理二：收敛的充分必要条件,设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。,称级数 是条件收敛的， 如果 是发散的，
3、 而 是收敛的,性质,连续性,可积性,解析性,问题的提出,已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。,问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。,第5节 洛朗级数展开,双边幂级数,其中,被称为双边幂级数的正幂部分,被称为双边幂级数的负幂部分,正幂部分,负幂部分,收敛环 R2|z-z0|R1,收敛环的确定,设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1
4、 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。,双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。,孤立奇点,概念,若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。,举例,孤立奇点的例子,非孤立奇点的例子,第四章 留数定理及其应用,4.1 留数定理,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,*4.3 计算定积分的补充例题,5.3 函数,第五章 Fourier变换,5.1 傅立叶级数,5.2 傅里叶积分和傅里叶变换,Fourier展开
5、,基本函数族,函数 f(x) 的Fourier展开式,Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理,若 f(x) 满足： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点， 则,正弦级数和余弦级数,若函数 f(x) 是奇函数，则Fourier展开成正弦级数,若函数 f(x) 是偶函数，则Fourier展开成余弦级数,例1：设 f(x) = x+1, x (0,l),试将其展开成正弦级数,例子,例2：设 f(x) = x, x(0,l),试将其展开成余弦级数,例3：设 f(x) = x, x (0,l),试根据条件 f (0)= f (l)=0
6、将 其展开成Fourier级数,复形式的Fourier级数,基本函数族,函数 f(x) 的Fourier展开式,例2：具有2N个完整波形的正弦波列：,试将它展开成Fourier积分,Fourier变换的性质,性质1（导数性质）,性质2（积分性质）,性质4（延迟性质）,性质3（相似性质）,性质5（位移性质）,性质6（卷积性质）,性质1（导数性质）,性质2（积分性质）,性质4（延迟性质）,性质3（相似性质）,性质5（位移性质）,多重Fourier积分,例1,例2,例3,数学物理方程, 课程的内容,三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数,分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法,波动方程、
7、1-6,14 输运方程、7-8 稳定场方程、9-13,贝赛尔函数、 勒让德函数, 数学物理方程定义,描述某种物理现象的数学微分方程。,数学物理方程, 课程的内容,三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数,分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法,波动方程、1-6,14 输运方程、7-8 稳定场方程、9-13,贝赛尔函数、 勒让德函数, 数学物理方程定义,描述某种物理现象的数学微分方程。,简化假设：,(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。,(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,其中：,其中：,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间
8、：,例2、时变电磁场,对第一方程两边取旋度，,根据矢量运算：,由此得：,得 ：,拉普拉斯算子：,同理可得：,电场的三维波动方程,磁场的三维波动方程,例3、静电场,电势u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程(无源场),泊松方程,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。,边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。,二、定解条件的推导,其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。,初始时刻的温度分布：,B、热
9、传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件,A、 波动方程的初始条件,1、初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移 系统各点的初速度,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,A、 波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。,或,B、热传导方程的边界条件,(1) 给定温度在边界上的值,S给定区域 v 的边界,(2) 绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面
10、积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。,热交换系数； 周围介质的温度,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,1、定解问题,三、定解问题的概念,(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。,定解问题的检验,解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。,3、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程,2、微分方程一般分类,(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。,5、微分方程的解,古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。,形式解：未经过验证的解为形式解。,6、求解方法,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,
