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1、高考一轮复习考点一遍过高考一轮考点一遍过分项解析逐一击破考点08 对数与对数函数考点解读指数函数与对数函数常在一起进行考查，关于函数的其他知识的考查也常以指数函数或对数函数为背景，尤其是对数函数，在复习过程中，我们要做到以下几点：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.一、对数与对数运算1对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其
2、中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推
3、广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d0).二、对数函数及其性质1对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”3对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.考向一 对数式的化简与求值对数运算的一般思路：（1）对于指数式、对数式混
4、合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.注意：（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性（2）注意利用等式.典例1 化简：（）；（）【答案】（1）5；（2）3.【解析】（）（）【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.典例2 已知函数
5、,若,则A B C D【答案】D【解析】根据题意有，解得.故选D【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数的等量关系式，即可求得结果.1已知，若，且，则_；_.考向二 对数函数的图象1对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.2当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，
6、其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小3对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解特别地，要注意底数和的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现4一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.典例3 若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【答案】B【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.A项，在上为减函数，错
7、误；B项，符合；C项，在上为减函数，错误；D项，在(，0)上为减函数，错误故选B.典例4 已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是A1，) B(1，)C(，1) D(，1【答案】B【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点故选B2已知函数f（x）ax+b的图象如图所示，则函数h(x)loga(x+b)的图象是（ ）ABCD考向三 对数函数性质的应用对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：（1）比较对数式的大小：若底数为
8、同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较（2）解对数不等式：形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解典例5 已知，则，的大小关系是ABCD【答案】B【解析】，又，且对数函数在上单调递增，.故选B【名师点睛】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.典例6 求不等式的解集.【解析】，原不等式等价于，当
9、1时，解得0x2当时，解得2x4不等式的解集为3已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为( )ABCD考向四 对数函数的复合函数问题与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.求形如的复合函数的单调区间，其一般步骤为：求定义域，即满足的x的取值集合；将复合函数分解成基本初等函数及；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”.典例7 已知，则是A偶函数，且在是增函
10、数B奇函数，且在是增函数C偶函数，且在是减函数D奇函数，且在是减函数【答案】C【解析】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减.故选C典例8 已知函数（1）判断的奇偶性并加以证明；（2）判断的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3）.【解析】（1）由，得，函数的定义域为 函数的定义域关于原点对称，且，函数为偶函数 （2）, 为增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.（3）即， 则，得.关于m的不等式的解集为.4已知函数，则（ ）A在单调
11、递增B在单调递减C的图象关于直线对称D的图象关于点对称5已知函数，（其中，且）.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；（3）求使成立的的集合.1已知，设集合，则( )ABCD2函数且的图象必经过点（ ）A（2，2）B（-2，2）C（0，2）D（2，0）3设，则ff(11)的值是（ ）A1BeCD4已知，则下列关系正确的是（ ）ABCD5若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）ABCD6当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（ ）A(0，)B(，1)C(1，)D(，2)7设，则（ ）ABCD8已知函数定义域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD9已知函数的图象如图所示
12、，则函数的图象可能（ ）ABCD10已知定义在上的函数满足，当时，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（ ）A10个B9个C8个D1个11已知函数f(x)= ，若0ab，且f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是_.12若函数在上是单调增函数，则的取值范围是_13已知函数，实数、满足，且，若在区间上的最大值是，则的值为_.14已知函数（，且），且.（1）求的值，并写出函数的定义域；（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.15已知函数.（1）当时,求；（2）求解关于的不等式；（3）若恒成立,求实数的取值范围.1【2020年高考全国I卷理数】若，则
13、ABCD2【2020年高考全国卷理数】设函数，则f(x)A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减3【2020年高考全国卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln193）A60B63C66D694【2020年高考全国卷理数】已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则AabcBbacCbcaDcab5【2020年高考全国卷理数】若2x2y0Bln(yx+1)0Dln|xy|06【2020年高考天津】设，则的大小关系为A B C D7【2020年新高考
