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1、助力资格考试精品word可编辑全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1已知2阶行列式，则（ B ）ABCD2设A , B , C均为n阶方阵，则（ D ）AACBBCABCCBADBCA3设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且，则行列式之值为（ A ）ABC2D84，则（ B ）APABAPCQADAQ5已知A是一个矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2B若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2C若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0D若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为0
2、6下列命题中错误的是（ C ）A只含有1个零向量的向量组线性相关B由3个2维向量组成的向量组线性相关C由1个非零向量组成的向量组线性相关D2个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组线性无关，线性相关，则（ D ）A必能由线性表出B必能由线性表出C必能由线性表出D必能由线性表出注：是的一个极大无关组8设A为矩阵，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ D ）A小于mB等于mC小于nD等于n 注：方程组Ax=0有n个未知量9设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ A ）ABCD，所以A与有相同的特征值10二次型的正惯性指数为（ C ）A0B1C2D3，正惯性指数为2二、填空
3、题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式的值为_12设矩阵，则_13设，若向量满足，则_14设A为n阶可逆矩阵，且，则|_15设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则_个方程、个未知量的Ax=0有非零解，则016齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_，基础解系所含解向量的个数为17设n阶可逆矩阵A的一个特征值是，则矩阵必有一个特征值为_A有特征值，则有特征值，有特征值18设矩阵的特征值为，则数_由，得219已知是正交矩阵，则_由第1、2列正交，即它们的内积，得020二次型的矩阵是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分
4、）21计算行列式的值解：22已知矩阵，求（1）；（2）解：（1）；（2）注意到，所以23设向量组，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解：，向量组的秩为3，是一个极大无关组，24已知矩阵，（1）求；（2）解矩阵方程解：（1），；（2）25问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）解：时，有惟一解，此时，；时，有无穷多解，此时，通解为，其中为任意常数26设矩阵的三个特征值分别为，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使解：由，得，对于，解：，取；对于，解：，取；对于，解：，取令，则
5、P是可逆矩阵，使四、证明题（本题6分）27设A，B，均为n阶正交矩阵，证明证：A，B，均为n阶正交阵，则，所以 全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设3阶方阵，其中（）为A的列向量，若，则（ C ）ABC6D122计算行列式（ A ）ABC120D1803若A为3阶方阵且，则（ C ）AB2C4D8，4设都是3维向量，则必有（ B ）A线性无关B线性相关C可由线性表示D不可由线性表示5若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（ C ）A2B3C4D5由，得46设A、B为同阶方阵，且，则（
6、C ）AA与B相似BCA与B等价DA与B合同注：A与B有相同的等价标准形7设A为3阶方阵，其特征值分别为，则（ D ）A0B2C3D24的特征值分别为，所以8若A、B相似，则下列说法错误的是（ B ）AA与B等价BA与B合同CDA与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的9若向量与正交，则（ D ）AB0C2D4由内积，得410设3阶实对称矩阵A的特征值分别为，则（ B ）AA正定BA半正定CA负定DA半负定对应的规范型，是半正定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设，则_12设A为3阶方阵，且，则_13三元方程的通解是_，通解是14设，则与反方向的单位向量是_15设A为
7、5阶方阵，且，则线性空间的维数是_的维数等于基础解系所含向量的个数：1617若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则_只有零解，所以可逆，从而18实对称矩阵所对应的二次型_19设3元非齐次线性方程组有解，且，则的通解是_是的基础解系，的通解是20设，则的非零特征值是_由，可得，设的非零特征值是，则，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算5阶行列式解：连续3次按第2行展开，22设矩阵X满足方程，求X解：记，则，23求非齐次线性方程组的通解解：，通解为，都是任意常数24求向量组，的秩和一个极大无关组解：，向量组的秩为2，是一个极大无关组25已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，
8、并写出对应于这个特征值的全部特征向量解：设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，；对于，解齐次方程组：，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数26设，试确定使解：，时四、证明题（本大题共1小题，6分）27若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解证：因为是的解，所以，是的解；设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共
9、20分）1.设行列式=4，则行列式=（ ）A.12B.24C.36D.482.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（ ）A.A-1CB-1B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-13.已知A2+A-E=0，则矩阵A-1=（ ）A.A-EB.-A-EC.A+ED.-A+E4.设是四维向量，则（ ）A.一定线性无关B.一定线性相关C.一定可以由线性表示D.一定可以由线性表出5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（ ）A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0r(A)(n)6.设A为n阶方阵，r(A)n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的
10、叙述正确的是（ ）A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解7.设是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（ ）A.是Ax=b的解B.是Ax=b的解C.是Ax=b的解D.是Ax=b的解8.设，为矩阵A=的三个特征值，则=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（ ）A.B.1C.D.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.
11、行列式=0，则k=_. 12.设A=，k为正整数，则Ak=_. 13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=_. 14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则=_. 15.设A是mn矩阵，Ax=0,只有零解，则r(A)=_. 16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=_. 17.实数向量空间V=（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0的维数是_. 18.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=_. 19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=_. 20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型，则t满足_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.计算行列式 22.设矩阵A=，对参数讨论矩阵A的秩. 23.求解矩阵方程X= 24.求向量组：，的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵的特征值和特
