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1、七校高 2020 级第三次诊断性考试 数 学 （理科）试 题 试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4考试结束后，将答题卷交回. 第 I卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 （綦江）已知集合02| 2 xxxA，0log|
2、 2 xxB，则BA（） A )2 , 1( B ) 1 ,0( C )2,( D )1 ,1( 2 （铜梁）设 i i z 31 2 ,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （实验）命题“ 32 10 xxxR ，” 的否定是（） A不存在 32 000 10 xxxR ，B 32 000 10 xxxR ， C 32 000 10 xxxR ， D 32 10 xxxR ， 4 （綦江）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 463 4aaa，则 9 S=（） A18B24C48D36 5 （实验）已知直线l和两个不同的平面 ，则下列结论正确
3、的是（） A若/l，l，则 B若l，则l C若/l， /l ，则 / D若/l，则l 6 （长寿）如图所示,给出的是求： 99 1 5 1 3 1 1的值的 一个程序框图 , 判断框内应填入的条件是（）. A ?99i B ?99i C?99i D?99i 7 （大足）算数书竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求 “ 盖” 的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给 出了由圆锥的底面周长 L与高h，计算其体积V 的近似公式hLV 2 36 1 它实际上是将 圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式hLV 2 112 3 相当于将圆
4、锥体积 公式中的近似取为（） A 7 22 B 8 52 C 9 82 D 27 82 8 （綦江）函数xxxxfcos)sin3()(在,上的大致图象是（） 9 （实验）已知直线 )0(kkxy 与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 交于 BA, 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F 若 ABF的面积为 2 4a，则双曲线的离心率是 （） A 3 B 2 C 5 D 2 10 （綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。 高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这 六个班排队吃饭的不同安排方案共
5、有（） A240种B120种C188种D156种 11 （大足）已知Rk，设函数 1,) 1( 1,22 )( 3 2 xeekx xkkxx xf x ，若关于 x的不等式 0)(xf在 Rx上恒成立，则k的取值范围为（） A B C D 12 （实验）函数 xxxf 2 cos)2sin()(，若 )(xf 最大值为 ( )G ，最小值为 )(g ，则 （） AR 0 ，使 00 ()()GgBR 0 ，使)()( 00 gG C R 0，使 )()( 00 gG D R 0，使 )( )( 0 0 g G 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20
6、 分。 13 （合川）已知向量 a=(1，1)， 2bm r ，且 a/ 2ab rr ，则m的值等于. M P A B D C 14 （实验） 5 2 1 21x x 展开式的常数项是 15（长寿）已知圆C的方程为 1)4()3( 22 yx，过直线l：053ayx（0a） 上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为 15 ，则直线l的斜率为 16 （綦江）已知数列 n a中， 1 1a ， 1 (2,) nn aan nnN，设 21 11 nn n aa b + 3 1 n a n a2 1 ，若对任意的正整数n，当1,2m时，不等式 2 1 3 n mmtb恒成立，则实数 t的取值范围
7、是 三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （实验）在 ABC中，角ABC， ， 的对边分别为a bc， ， ，且满足 (2)coscosbcAaC （ 1）求角 A； （ 2）若 13a ， ABC的面积为3 3，求ABC的周长 18 （綦江）如图，在四棱锥ABCDP中 ABCDPA底面， ADBC/ , 3 2 BAD, 2BCABPA，4AD ,点 M 是棱PD的中点 . （ 1）求证：/CM平面PAB； （ 2）求二面角MACD的大小 . 19 （江津） 某市积极贯彻落实国务院“ 十三五 ” 节能减排综合工作方案，空气质量明显改善. 该市生态环境局统计了某
8、月(30 天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气 质量等级与空气质量指数对照如下表： 空气质量指数(0，50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，300 300以上 空气质量等级 一级 (优) 二级 (良) 三级 (轻度污染 ) 四级 (中度污染) 五级 (重度污染 ) 六级 (严重污染) （ 1）根据频率分布直方图估计，在这30 天中，空 气质量等级为优或良的天数； （ 2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量 指数高于90 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空 气质量指数高于70 时，市民乙不宜进行户外体育运动 (两人是否进行户外体育运动互不影响)
9、. 从这 30 天中随机选取2 天，记乙不宜进行户外 体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为 ， 求 的分布列和数学期望； 以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气 质量指数互不影响)，甲、乙两人后面分别随机选择3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有1 天不宜进行户外体育运动的概率. 20 （铜梁）已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为1 1,0F ，C与 y 轴正半轴交点为A，且 1 3 AFO. （ 1）求椭圆C的标准方程； （ 2）过点 A作斜率为1 k ，2 k （12 0k k ）的两条直线分别交C于异于点A的两点,M N .
10、 证明：当 1 2 1 1 k k k 时，直线MN过定点 . 21 （大足）已知函数 axxaxfln)(，bxxkxxgln)(，其中Rkba,. （ 1）求函数 )(xf 的单调区间； （ 2）若对,1, 1exea任意任意，不等式)()(xgxf恒成立时最大的 k记为c， 当,1 eb时， cb 的取值范围 . 请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22 （长寿）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 22sin x y ， （为参数），直线l的参 数方程为
11、 3 3 2 1 3 2 xt yt （t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(23,)， 其中 (,) 2 . （1）求的值； （2）若射线OA与直线l相交于点B，求 AB 的值. 23 （长寿）选修4-5：不等式选讲 已知函数| 2 3 | 2 1 2|)(xaxxf. （ 1）当 1a 时，解不等式xxf3)(； （ 2）当2a时，若关于x的不等式 |1|2)(4bxf 的解集为空集，求实数b的取值范围 . 七校高 2020 级第三次诊断性考试 数学（理科）答案 第卷（选择题共 60 分） 一、选
12、择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 1-12AACDAACDCBDD 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 132 14 8 15 4 3 16）（1 ,【解析】 1 1a， 1nn aan（2n，nN），当2n时， 1nn aan， 12 1 nn aan ， ， 21 2aa ，并项相加，得： 1 132 n aann（） ， 1 1231 2 n ann n（）， 又当1n时， 1 1 11 11 2 a（）也满足上式， 数列 n a的通项公式为 1 1 2 n an n（）， 1232 1111 n nnnn b aaaa 222111111 2
13、12232211223221nnnnnnnnnnnn （） 2 1122 2 1 121231 23 n nnnn n n （） ，令 1 2fxx x （1x）， 则 2 1 2fx x ，当1x时， ( ) 0fx 恒成立，fx在1x，）上是增函 数， 故当 1x 时，13 min fxf，即当 1n时， 1 3 n max b，对任意的正整数 n， 当 12m， 时，不等式 21 3 n mmtb 恒成立，则须使 211 33 n max mmtb ，即 2 0mmt 对 12m， 恒成立，即 tm的最小值，可得1t ，实数 t 的取值范围为 ,1 ，故答案为 ,1 . 三、解答题： 1
14、7 （ 12 分）解：（）因为(2)coscosbcAaC， 所以(2sinsin)cossincosBCAAC， 2分 即2sincossincossincossin()BAACCAAC4分 由ABC，得2sincossinBAB， 得 1 cos 2 A， 0 3 AAQ6分 （）由余弦定理： 222 2cosabcbcA ，得 22 1 132 2 bcbc 得 2 313bcbc8分 13 sin3 3 24 SbcAbc得12bc10分 所以 2 3613bc，得7bc 所以ABC周长为713abc 12分 18 （本小题12 分） （綦江中学改编）如图，在四棱锥 ABCDPABCD
15、PA底面ADBC/, 3 2 BAD, 4,2ADBCABPA,点 M 是棱PD的中点。 （ 1）求证： CM平面 PAB ； （ 2）求二面角MACD的大小。 解：（ 1）如图，取AP的中点 E，连接 BE、EM M 是 PD的中点， 1 2 EMAD， EMAD， 2 分 又 1 2 BCAD，BCAD，所以 EM=BC，EMBC ， 四边形BCME为平行四边形， CMBE ，4分 又BE平面 PAB ，CM平面 PAB ， CM平面 PAB 5分 （2）在平面ABCD内过点 A 作 AD 的垂线 Ax，由题意知PA ，Ax， AD 两两垂直，以A 为坐标 原点， Ax，AD，AP 所在的
16、直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知2PAABBC， 4AD ， 2 3 BAD ， E z y x M D C B A P E M D C B A P 可得 (0,0,0), ( 3,1,0),(0,2,1)ACM ， ( 3,1,0)AC u uu r ， (0,2,1)AM uuu u r ，7 分 设平面 MAC的法向量为( , , )x y z r n， 则由 0 0 AC AM uuu r r uuuu r r n n ，即 30 20 xy yz ，令3y，则3,6xz， ( 3, 3,6) r n为平面 MAC的一个法向量 9分 PA底面 ABCD ，可取平面ACD的一个法向量为 (0,0,1) u u r m ，10分 63 cos , | | |248 n m n m nm rr r r rr ， 二面角MACD为锐二面角 二面角MACD的大小为 6 12分 注：使
