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1、1 高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案 集合及集合的表示（B 层） 编稿：审稿： 【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“ ”“” 表示元素与集合之间的关系 2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的 意义和作用 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集 合等 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学 分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到 应用 . 要点一、集合的有
2、关概念 1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能 判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集 . 3关于集合的元素的特征 (1)确定性： 设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则 x 或者是 A 的元素， 或者不是A 的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象 )，因此，同一集合中不 应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由 1，2，3 组成的集
3、合，也可以写成由1，3，2 组成 一个集合，它们都表示同一个集合. 4元素与集合的关系： (1)如果 a是集合 A 的元素，就说a 属于 (belong to)A ，记作 aA (2)如果 a不是集合A 的元素，就说a不属于 (not belong to)A ，记作aA 5集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6常用数集及其表示 非负整数集 (或自然数集 )，记作 N 正整数集，记作N *或 N + 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要
4、点二、集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法 来表示集合 . 1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2 且小于等于8 的偶数构成的集合. 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如： 1 ，2，3，4，5 ，x 2，3x+2，5y3-x， x2+y 2，. 2 3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上 表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化 )范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征 . 4.图示法：图示法主要包括
5、Venn 图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法 . 如下图， 就表示集合 1,2,3,4 . 【典型例题】 类型一：集合的概念及元素的性质 例 1 集合A由形如3 (,)mn mZ nZ的数构成的，判断 1 23 是不是集合A中的元素？ 答案： 是 解析： 由分母有理化得， 1 23 23 .由题中集合A可知2,1,mn均有,mZ nZ， 23A，即 1 23 A. 点评： （1） 解答本题首先要理解与的含义， 然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的， 1 23 能否化成此形式，进而去判断 1 23
6、 是不是集合 A中的元素 .（ 2）判断一个元素是不是某个集合的元素， 就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集 合中元素所具有的形式. 举一反三： 【变式 1】设S=x|x=m+2n,m,nZ (1)若 aZ，则是否有aS？ (2)对 S 中任意两个元素x1，x2，则 x1+x2，x1 x2，是否属于集合S？ 解： (1)若 aZ，则有 aS，即 n=0 时， xZ， aS； (2)x1，x2S，则 1112221122 x =m +2n ,x =m + 2n (m ,n ,m ,nZ) 1212121212 ()2()(,)xxmmnn
7、SmmZ nnZ 12112212121221 xx =(m + 2n ) (m +2n )=m m +2n n +2(m n +m n ) m1，n1，m2，n2 Z， m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z 1，2，3，4 3 x1 x2 S. 类型二：元素与集合的关系 例 2.用符号 “ ” 或 “ ” 填空 (1)2 3 _|113 2 _|4x xx x，； (2) 22 3_|15_|1NNx xnnxxnn，； (3) 22 ( 11) _|( 11) _() |.yyxxyyx， ， 解析： 给定一个对象a，它与一个给定的集合A 之间的关系为 aA，或者aA，二者必居其一
8、 .解 答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论.对于第 (1)题，可以通过使用计算 器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令 x=3， x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性. (1) 2 312112 3|11x x，； 3 2181643 2|4x x，； (2)令 2 31n，则 2 23|1NNnx xnn，； 令 2 51n，则 2 225|1NNnx xnn，其中，； (3) (-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x 2， 22 ( 11)|( 11)() |.y yxxyy
9、x， ， 点评： 第(1)题充分体现了 “ 化异为同 ” 的数学思想 .另外， “ 见根号就平方” 也是一种常用的解题思路和方 法，应注意把握 .第(2)题关键是明确集合 2 |1Nx xnn，这个 “ 口袋 ” 中是装了些x 呢？还是装了些 n 呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“ ” 左边的元素组成的，符号“ ” 右边的部分表示x 具有 的性质 .第 (3)题要分清两个集合的区别.集合 2 |y yx这个 “ 口袋 ” 是由 y 构成的， 并且是由所有的大于或 等于 0 的实数组成的；而集合 2 () |xyyx，是由抛物线 2 yx上的所有点构成的，是一个点集. 举一反三： 【变式
10、 1】 用符号 “ ” 或“ ” 填空 （1）若A=Z,则 1 2 A；-2 A. （2）若 2 B|210 ,xxx则 1 2 B；-2 B. 答案： （1），（2）， 类型三：集合中元素性质的应用 例 3.设S是至少含有两个元素的集合，在 S上定义了一个二元运算 “*”（即对任意的,a bS，对于有 序元素对（ a,b）,在S中唯一确定的元素*a b与之对应），若对任意的,a bS，有*(*)ab ab，则对任 4 意的,a bS，下列等式中不恒成立的是（） A. (* )*a baa B. *(*)*(*)ab aaba C. *(*)bbbb D. (*)*(*)a bbabb 答案：
11、A 解析： 抓住本题的本质(* )*a bab恒成立 . ,a b只要为S中元素即可有 *a bS. B 中由已知即为 *(*)ba ba符合已知条件形式.C中ab即可 . D 中*a b相当于已知中的a也正确 .只有 A 不一定正确 . 点评： 本题应紧紧抓住关系式( * )*a bab，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边， 此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决. 举一反三： 【变式 1】定义集合运算： |(),ABz zxy xyxA yB .设集合 0,1A ， 2,3B ， 则集合 AB的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 答案：D
12、解析： |(),ABz zxy xyxA yB ，当 0,1 ,2,3AB 时， 0,6,12AB ， 于是A B的所有元素之和为 0+6+12=18. 点评： 这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题 的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型. 例 4. 6 M=aZ,|N 5-a ，则 M=( ) A. 2 ，3 B. 1 ，2，3，4 C. 1 ，2，3， 6 D. -1 ，2，3，4 答案： D 解析： 集合中的元素满足是整数，且能够使 6 5-a 是自然数，所以06 6 5-a 由 aZ，所以 -1a4 当 a=-1 时
13、，1 6 =N 5-(-1) 符合题意； 当 a=0 时， 6 5 6 =N 5-0 不符合题意； 当 a=1 时， 63 512 =N不符合题意； 5 当 a=2 时， 6 52 =2N符合题意； 当 a=3 时， 6 =3N 5-3 符合题意； 当 a=4 时， 6 =6N 5-4 符合题意 . 故 a=-1，a=2，a=3，a=4 为 M 中元素，即M=-1 ，2，3， 4，选项 D 正确 . 高清课程：集合的表示及运算例 1 例 5. 设集合A=xR| 2 210axx，当集合A为单元素集时，求实数a的值 . 答案： 0，1 解析： 由集合A中只含有一个元素可得，方程 ax2+2x+1
14、=0 有一解， 由于本方程并没有注明是一个二次 方程，故也可以是一次方程，应分类讨论： 当 a=0 时，可得是一次方程，故满足题意. 当 a0 时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0 时的 a 的值，可求得为a=1.故 a 的取值为0，1. 例 6.已知集合 22 2,(1) ,33Aaaaa，若1A，求实数 a的值及集合 A. 答案：0a，1,2,3A 解析： （ 1）若21,a则1a. 所以1,0,1A，与集合中元素的互异性矛盾，则1a应舍去 . （2）若 2 (1)1a，则0a或2a， 当 0a 时，2,1,3A满足题意； 当2a时，0,1,1A，与
15、集合中元素的互异性矛盾，则2a应舍去 . （3）若 2 331aa，则1a或2a，由上分析知1a与2a均应舍去 . 综上，0a，集合1,2,3A. 点评： 本题中由于1 和集合A中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用 元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习 中引起足够的重视. 举一反三： 【变式 1】已知集合 2 2,2Aaa，3A，求实数a的值 答案：1a 解析： 当 21a ，即 1a 时，1,3A，满足题意； 当 2 23,a即1a，1a时，3,3A，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去， 6 1a时，由上面知，
16、满足题意 故1a 例 7设A是实数集，且满足条件：若,1aA a，则 1 1 A a . （1）若2 A，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集； （3）集合A中至少有三个不同的元素. 答案： （ 1） 1 1, 2 （2）略（3）略 解析： （ 1）若2 A，则 1 1 12 A，于是 11 1( 1)2 A，故集合A中还含有 1 1, 2 两个元素 . （2）若A为单元素集，则 1 1 a a ，即 2 10aa，此方程无实数解， 1 1 a a ，a与 1 1a 都为集合 A的元素，则A不可能是单元素集 . （3）由已知 111 1 1 1 1 a aAAA aa a .现只需证明 1 1 a a aa 1- 、三个数互不相等. 若 21 10, 1 aaa a 方程无解， 1 1 a a ； 若 21 10 a aaa a ，方程无解， 1a a a ； 若 2 11 10 1 a
