《高中数学北师大版必修4学案附答案：第一章三角函数章末复习课学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版必修4学案附答案：第一章三角函数章末复习课学案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高考数学北师大版必修4 学案附答案 第一章三角函数 章末复习课 网络构建 核心归纳 1三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（ 1）理解任意角的概念和弧度的意义，能 正确迅速地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意的角的正弦、余弦和正切的定义，能 正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函 数的值域 2诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变， 符号看象限”牢记所有诱导公式 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值， 达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的 3三角函数的图像与
2、性质 函数ysin x ycos x ytan x 图像 定义域RR k 2 ， k 2 (kZ) 值域 1,1 1,1( ，) 续表 2 最值 x2k 2 (kZ) 时，ymax1；x2k 2 (kZ) 时，ymin 1 x2k(kZ) 时， ymax1；x2k (kZ) 时，ymin 1 无最大值、最小值 周期性周期T 2k(kZ)周期T2k(kZ)周期Tk(kZ) 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在 2k 2 ，2k 2 (kZ) 上是增函数； 在 2k 2 ，2k 3 2 (kZ) 上是减函数 在2k， 2k(kZ) 上是增 函数； 在2k，2k (kZ) 上是减 函数 在区间 (k
3、 2 ，k 2 )(kZ) 上是增 函数 对称性 轴对称图形，对称轴 方程是xk 2 ， kZ； 中心对称图形， 对称中心 (k， 0)(k Z) 轴对称图形，对称轴 方程是xk，kZ； 中心对称图形，对称 中心k 2 ，0 (k Z) 中心对称图形，对称 中心 k 2 ，0 (kZ) 4. 三角函数的图像与性质的应用 (1) 重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息， 如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称 中心之间位置关系等能从三角函数的图像归纳出函数的性质 (2) 牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、
4、奇偶性和对称性在运用三角函 数性质解题时， 要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、 化归转化思想将综合性较强的试 题完整准确地进行解答 要点一任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面： (1) 任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义， 能正确地进行弧度与角度的换算 (2) 任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三 角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域 3 【例 1】已知 cos m，|m| 1，求 sin ，tan 的值 解(1) 当m0 时，2k 2 ，kZ； 当2k 2 时， sin 1，tan 不存在
5、； 当2k 2 时， sin 1，tan 不存在 (2) 当m1 时，2k，kZ， sin tan 0. 当m 1时，2k，k Z，sin tan 0. (3) 当在第一、二象限时， sin 1m 2， tan 1m 2 m . (4) 当在第三、四象限时， sin 1m 2，tan 1m 2 m . 【训练 1】已知角的终边经过点P( 3，m) (m0)且 sin 2 4 m，试判断角所 在的象限，并求cos 和 tan 的值 解由题意，得r3m 2， 所以 sin m 3m 2 2 4 m. 因为m0，所以m5，故角是第二或第三象限角 当m5时，r22，点P的坐标为 ( 3，5) ，角是第
6、二象限角， 所以 cos x r 3 22 6 4 ， tan y x 5 3 15 3 ； 当m5时，r22，点P的坐标为 ( 3，5) ，角是第三象限角，所以cos x r 3 22 6 4 ， tan y x 5 3 15 3 . 要点二诱导公式的应用 (1) 对于 ，2记忆为“函数名不变，符号看象限” (2) 对于 2 记忆为“函数名改变，符号看象限” 4 注意： 名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化 “符号看象限”是指把看作锐角时原函数值的符号 其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角” 【例2】(1) 若 2 ，( 注：对任意角有sin 2 cos 2 1 成立
7、) ，则 12sinsin 3 2 ( ) Asin cos B cos sin C(sin cos ) D sin cos (2) 已知f(x) asin( x)bcos( x) ，其中，a，b均为非零实数，若 f(2 016) 1，则f(2 017) 等于 _ 解析(1)12sinsin 3 2 12sin cos |sin cos | ，又 2 ， sin cos 0， 故原式 sin cos . (2) 由诱导公式知f(2 016) asin bcos 1， f(2 017) asin( ) bcos( ) (asin bcos ) 1. 答案(1)A (2)1 【训练 2】已知角的终
8、边经过点P 4 5， 3 5 . (1) 求 sin 的值； (2) 求 sin 2 sin tan cos3 的值 解(1) |OP| 1， 点P在单位圆上 由正弦函数的定义得sin 3 5. (2) 原式 cos sin tan cos sin sin cos 1 cos ， 5 由余弦函数的定义得cos 4 5. 故所求式子的值为 5 4. 要点三三角函数的图像及变换 1用“五点法”作yAsin(x) 的图像时，确定五个关键点的方法是分别令x 0， 2 ， 3 2，2. 2对于yAsin(x) h，应明确A、决定“变形”，、h决定“位变”，A影响 值域，影响周期，A、影响单调性针对x的变
9、换，即变换多少个单位，向左或向 右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别 【例 3】函数f(x) Asin(x)A0，0，| 2 的一段图像如图 (1) 求f(x) 的解析式； (2) 把f(x) 的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解(1)A3， 2 4 3 4 4 5， 故 2 5. 由f(x) 3sin 2 5x 过 4 ，0 得 sin 10 0. 又| 2 ，故 10， 故f(x) 3sin 2 5x 10 . (2) 由f(xm) 3sin 2 5 xm 10 3sin 2 5x 2 5m 10 为偶函数 (m0) ， 知
10、2m 5 10 k 2 (kZ) ，即m 5 2k 3 2 (kZ) m0，mmin3 2 . 故至少把f(x) 的图像向左平移 3 2 个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数 【训练 3】已知函数f(x) 的部分图像如图所示，则f(x) 的解析式可能为( ) 6 Af(x) 2sin x 2 6 Bf(x) 2cos 4x 4 Cf(x) 2cos x 2 3 Df(x) 2sin4x 6 解析由图像知周期T4，则1 2，排除 B 、D；由 f(0) 1，可排除A. 答案C 要点四三角函数的性质 三角函数的性质，重点应掌握ysin x，ycos x，ytan x的定义域、值域、单调性
11、、 奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数yAsin(x) ，yAcos(x) 及yAtan(x) 的相关性质在研究其相关性质时，将x看成一个整体，利用 整体代换思想解题是常见的技巧 【例 4】f(x) 是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x2) f(x) ，且f(x) 在 3，2 上单调递减，而，是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin )f(cos ) 证明f(x2) f(x) ， yf(x)的周期为2. f(x) 在 1,0 与 3， 2 上的单调性相同 f(x) 在 1,0 上单调递减 f(x) 是偶函数， f(x) 在0,1上的单调性与 1,0 上的单调性相反 f(x)
12、在0,1上单调递增 ，是锐角三角形的两个内角， 2 ， 2 ，且 0， 2 ， 2 0， 2 . 又ysin x在 0， 2 上单调递增， 7 sin sin 2 cos ，即 sin cos . 由，得f(sin )f(cos ) 【训练 4】已知a0，函数f(x) 2asin(2x 6 ) 2ab，当x 0， 2 时， 5f(x) 1. (1) 求常数a，b的值； (2) 设g(x) f x 2 且 lg g(x) 0，求g(x) 的单调区间 解(1) x 0， 2 ， 2x 6 6 ， 7 6 . sin 2x 6 1 2，1 ， 2asin2x 6 2a，a f(x) b,3ab， 又
13、 5f(x) 1， b 5,3ab 1， 因此a 2，b 5. (2) 由(1) 得a2，b 5， f(x) 4sin2x 6 1， g(x) f x 2 4sin2x 7 6 1 4sin2x 6 1， 又由 lg g(x) 0 得g(x) 1， 4sin2x 6 11， sin2x 6 1 2， 2k 6 2x 6 2k 5 6 ，kZ， 其中当 2k 6 2x 6 2k 2 ，kZ 时，g(x) 单调递增，即kxk 6 ，k Z， g(x) 的单调增区间为 k，k 6 ，k Z. 8 又当 2k 2 2x 6 2k 5 6 ，kZ 时，g(x)单调递减， 即k 6 xk 3 ， kZ.
14、g(x) 的单调减区间为k 6 ，k 3 ，kZ. 要点五三角函数的综合应用 (1) 求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们 的相互制约关系，准确地进行等价转化； (2) 在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义 域的要求一般是归结为解三角函数不等式( 组) ，可用图像法或单位圆法； (3) 求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行； (4) 用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时， 也常用周期函数的定义来处理 【例 5】已知函数f(x) log 1 2 2sin x 4
15、. (1) 求它的定义域和值域、单调区间； (2) 判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期 解令u(x) 2sinx 4 . f(x) log 1 2 2sinx 4 1 2log 1 2sin x 4 . (1) 要使f(x) 有意义，则sinx 4 0，所以2kx 4 (2k1)(kZ) ，即x 2k 4 ， 2k 5 4 (k Z) 因为 0 sinx 4 1，所以02sinx 4 2， 所以f(x)log 1 2u (x) 1 2. 所以f(x)的值域为 1 2， . x 4 2k， 2k 2 时，u(x) 是增函数，所以f(x) log 1 2u (x) 是减函数 所以x 2k 4 ，2k 3 4 时，函数是减函数 9 同理可求得x 2k 3 4 ，2k 5 4 (kZ) 时，函数是增函数 (2) 因为f(x) 的定义域不关于原点对称，所以f(x) 是非奇非偶函数 又f(x2) 1 2log 1 2 sinx2 4 1 2log 1 2sin x 4 f(x) ， 其中x 2k 4 ，2k 5 4 (kZ) ，所以f(x) 是周期函数，且最小正周期是2. 【训练 5】函数f(x) cos x2|cos x| 在0,2 上与直线ym有且仅有2 个交点，求 m的取值范围 解f(x) 3cos x，x 0， 2
