(2) 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 (3) 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调 2 区间 (4) 记住几条常用的结论 若( )f x是增函数，则( )f x为减函数；若( )f x是减函数，则( )f x为增函数； 若( )f x和( )g x均为增（或减）函数，则在( )f x和( )g x的公共定义域上( )( )f xg x为增（或减 ) 函数； 若( )0fx且( )fx为增函数，则函数( )f x为增函数， 1 ( )f x 为减函数；若( )0f x且( )f x为 减函数，则函数( )f x为减函数， 1 ( )f x 为增函数 . 5复合函数单调性的判断 讨论复合函数 ( )yf g x 的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性一 般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调 性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若( ),( )ug xyf u在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则( )yf g x为增函数； （2）若( ),( )ug xyf u在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则( )yf g x为减 函数。
列表如下： ( )ug x( )yf u( )yf g x 增增增 增减减 减增减 减减增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增；单调性相异时递减 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：( )yf u，( )ug x； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则( )yfg x为增函数；若为一增一 减或一减一增，则( )yfg x为减函数 要点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数( )ug x的值域，否则就无法确定( )f u的单调性 3 （3）若( )0f x，且在定义域上( )f x是增函数，则 ( ),( )(0),( )(1) n n f xkf x kfx nnN且都 是增函数 6利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值常用到下面的结论： （1） 如果函数( )yf x在区间 , a b 上是增函数，在区间 ,b c 上是减函数，则函数( )(, )yf xxa c 在x b处有最大值( )f b 。
（2） 如果函数( )yf x在区间, a b上是减函数，在区间,b c上是增函数，则函数( )(, )yf xxa c 在xb处有最小值( )f b 若函数( )yf x在,a b上是严格单调函数，则函数( )yf x在,a b上一定有最大、最小值 （3） 若函数( )yf x在区间 , a b 上是单调递增函数， 则( )yf x的最大值是( )f b， 最小值是( )f a （4） 若函数( )yf x在区间, a b上是单调递减函数， 则( )yf x的最大值是( )f a， 最小值是( )f b 7利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不等式， 利用下面的结论求解 （1）( )af x在,m n上恒成立( )af x在,m n上的最大值 （2）( )af x在,m n上恒成立( )af x在,m n上的最小值 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题 要点二、基本初等函数的单调性 1正比例函数(0)ykx k 当 k0 时，函数ykx在定义域 R是增函数；当k0 时，函数ykxb在定义域 R是增函数；当k0，在区间( 2 b a ，，函数是减函数；在区间) 2 b a ，+，函数是增函数； 若 a<0，在区间( 2 b a ，，函数是增函数；在区间) 2 b a ，+，函数是减函数 【典型例题】 类型一、函数的单调性的证明 【高清课堂：函数的单调性 356705 例 1】 例 1.已知：函数 1 ( )f xx x （1）讨论( )f x的单调性 . （2）试作出( )f x的图象 . 【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 【解析】 （1）设 x1，x2是实数集 R上的任意实数，且 x1
【答案】（1）f(x) 在 3 -- 2 ，上递减，在 33 -,00, 22 上递增，在上递减，在 3 + 2 ，上递增 . （2）f(x) 在 -12 +，上递减，在， 上递增 . 【解析】 (1)由图象对称性，画出草图 f(x) 在 3 -- 2 ，上递减，在 33 -,00, 22 上递增，在上递减，在 3 + 2 ，上递增 . (2) -23 (1) |1||- 2 |1 (12) 2 - 3 (2) xx yxxx xx 图象为 f(x) 在-12 +，上递减，在，上递增 . 举一反三： 【变式 1】求下列函数的单调区间： 7 (1)y=|x+1| ；(2) 1 21 y x ；(3) 2 1 y x ； （4）y=|x 2-2x-3|. 【答案】（1）函数的减区间为1,，函数的增区间为(-1，+) ； （2） 11 ,,, 22 在上为减 函数；（3） 2 x 1 y单调增区间为：(- ，0)，单调减区间为(0，+) ；单调减区间是（- ，-1） ， （1，3） ； 单调增区间是（-1，1） ， （ 3，+） 【解析】 (1) ) 1x( 1x )1x( 1x y画出函数图象， 函数的减区间为1,，函数的增区间为(-1，+) ； (2) 定 义 域 为 u 1 y, 1x2u, 2 1 2 1 ,，设， 其 中 u=2x-1 为增函数， u 1 y在(- ，0)与(0， +) 为减函数，则, 2 1 , 2 1 , 1x2 1 y在上为减函数； (3)定义域为 (- ，0)(0，+) ， 2 x 1 y单调增区间为：(- ，0)，单调减区间为(0，+) ； 【高清课堂：函数的单调性356705 例 3】 （4）先画出y=x2-2x-3，然后把x轴下方的部分关于x轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下 图 所以 y=|x2-2x-3|的单调减区间是（ -，-1） ， （1，3） ；单调增区间是（-1，1） ， （3，+ ）. 【总结升华】 （1）数形结合利用图象判断函数单调区间； （2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. （3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数 的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例 3. 已知函数( )f x是定义域为R的单调增函数 （1）比较 2 (2)f a与(2 )fa的大小； （2）若 2 ()(6)f af a，求实数a的取值范围 8 【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成( )( )f xfy的形式，再依据函数 ( )f x的单调性把f符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
【答案】（1） 2 (2)(2 )f afa； （2）。