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1、 1/4 高二数学（理）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共 36 分. 每小题只有一个正确选项） 题号123456789101112 答案DBCDBAACDBCA 二、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，共 20 分） 题号1314151617 答案) 1 , 2(e,e32 （选对一个得2 分，错选不得分） 三、解答题（第18 题 8 分， 19 题 6 分，第 20、21、22 题每题 10 分，共 44 分） 18. （）设( ,)zabi a bZ，则 22 5( ,)aba bZ， 1 分 因为 z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a，0b
2、， 所以 1 2 a b 或 2 1 a b ， 3 分 所以12zi或 2iz.4 分 （）当iz为纯虚数时，由（）知 2iz ， 5 分 由nimzz4)(2得niim426，即0)1(22inm7分 所以 1 1 n m .8 分 19. * , a bR ，且1ba，欲证 611ba ， 只需证 6)11( 2 ba ，即证 3)1)(1 (2ba ， 2 分 只需证9)1)(1(4ba，即证 4 1 ab，4分 又 4 1 ) 2 ( 2ba ab ，当仅当 2 1 ba时等号成立， 611ba 成立 .6 分 2/4 20. （） 32 -fxxaxbx c，f （x） 3x2+2
3、ax+b 由 2124 0 393 1320 fab fab 解得， 1 2 2 a b ；4 分 （） f （x） 3x2x2（ 3x+2） （x1） ，函数 f（x）的单调区间如下表： x（ , 2 3 ） 2 3 （ 2 3 ，1）1（1，+） f （x）+00+ f（x） 极大值极小值 得 f（x）在（ 1， 2 3 ）上递增，在（ 2 3 ， 1）上递减，在（1，2）上递增， 6 分 所以当 x 2 3 时，cxf 27 22 )(为极大值，而ccf 27 22 2)2(， 所以cf2)2(为最大值8 分 要使 f（x） 2 c 对 x 1，2恒成立，须且只需cfc2)2( 2 解得
4、 c 2 或 c 110 分 21. （）由题意第k个矩形的高是 2 1 () k n ， 2 2 2 11 1( ) (1) k kk a nnnn .2分； （） (i)1n时， 21 11 2 3 6 ，命题成立，3 分 (ii)设nk时命题成立，即 2221 12(1)(21) 6 kk kk， 则1nk时， 22222 1 12(1)(1)(21)(1) 6 kkk kkk 211 (1)(276)(1)(2)(23) 66 kkkkkk 1 (1)(1) 12(1) 1 6 kkk， 1nk时命题成立，5 分 3/4 综上，*nN时，命题为真，即 2221 12(1)(21) 6
5、nn nn， 7 分 （） 2222 233 1 1 (1)(21) 112 6 (1)11 n n k n nn kn S nnnn 2 211 326nn ； 2 2112 limlim() 3263 n nn S nn 9 分 lim n n S 的几何意义表示函数 2 1yx的图象与 x轴， 及直线 0 x和 1x所围曲线梯形的 面积为 2 3 10 分 22. （）2 x fxea， 1 分 当0a时，0fx，fx在,上单调递增； 2 分 当0a时，)2ln( ax，0fx，fx在),2(ln( a上单调递增； )2ln( ax，0fx，fx在)2ln(,(a上单调递减 .3 分 综
6、上可知，当0a时，fx在,上单调递增； 当0a时，fx在 ),2(ln( a 上单调递增，在 )2ln(,(a 上单调递减 . 4 分 （）由（）知，fx有两个零点 1 x ，2 x ， 必须有0a且最小值 ln 2 ln 22 ln 222 ln 20 a faeaaaaa， ln 20a， 1 2 a， 又当x时，fx；当x时，fx， 1 2 a，fx有两个零点 1 x， 2 x，不妨设 12 xx ， 12 ln 2xax， 6 分 此时 1 11 220 x fxeaxa ， 2 22 220 x fxeaxa ， 即 1 1 21 x a xe， 2 2 21 x a xe， 4/4
7、 12 122 11 4 xx e xx a ， 要证： 12 111xx，即证： 12 2 1 4 xx e a ， 即证： 12 2 4 xx ea ，即证： 12 2ln 2xxa，即证： 12 2ln 2xax ， 又 12 ln 2xax， 12 2ln 2ln 2xaxa， 即证： 12 2ln 2fxfax，即证： 22 2ln 2fxfax， 8 分 令 2ln 2 2222ln 22 xax eaxaegaaxax 2ln 2 44 ln 2ln 2 xax eeaxaa xa， 2 2ln 2 4 44 xaxx x a eeaea e gx 2 2 440aa ，当仅当ln 2xa取“ ” ， g x在ln 2 ,a上为增函数，ln 20g xga， 22 2ln 2fxfax成立， 12 111xx 成立 .10 分
