《高考数学新版一轮复习教程学案：第48课__双曲线的标准方程和几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学新版一轮复习教程学案：第48课__双曲线的标准方程和几何性质（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、几何性质 1. 了解双曲线的定义和几何图形. 2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实 际问题 . 3. 了解双曲线的简单几何性质. 1. 阅读：选修11 第 3741 页(理科阅读选修21 相应内容 ). 2. 解悟：双曲线的几何性质(对称性、取值范围、顶点、渐近线、离心率)；双曲线的离 心率是反映了双曲线形状的一个重要量，它与 b a之间满足一个什么关系？应任务 ). 基础诊断 1. 已知双曲线 x2 a 2 y2 b21(a0，b0)和椭圆 x 2 16 y2 9 1 有相同的焦点，且双曲线的离心率 是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 x 2
2、4 y 2 3 1. 解析：由题意得双曲线的半焦距为c7， 椭圆的离心率为 7 4 ， 则双曲线的离心率为 7 2 ， 可得 a 2，b3，所以双曲线方程为 x2 4 y2 3 1. 2. 若双曲线x 2my21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的渐近线方程为y 2x. 解析：双曲线 x2 my2 1 中 a 1，b 1 m .因为双曲线x2my21 的虚轴长是实轴 长的 2 倍，所以2 1 m4，所以 m 1 4，所以双曲线方程为 x2 y2 4 1，所以双曲线的 渐近线方程为y 2x. 3. 若双曲线 x2 a 2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线
3、的 离心率为5. 解析：因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于2a，即点F(c，0)到直线 bx ay0 的距 离等于 2a，即 |bc| a2b2 2a，即 b 2a，所以 e2 c2 a21 b2 a25，即双曲线的离心率为 e5. 4. 经过点 A(3， 1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 x 2 8 y2 8 1. 解析：当焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为 x2 a 2 y2 a 21(a0)，将点 A(3，1)代入 方程得 9 a 2 1 a 21，得 a 28，所以双曲线的标准方程为 x2 8 y 2 8 1；当焦点在y 轴上时，设双 曲线的标准方程为 y2 b2 x
4、2 b21(b0)，将点 A(3， 1)代入方程得 1 b2 9 b21，得 b2 8(舍). 综上，该双曲线的方程为 x 2 8 y 2 8 1. 范例导航 考向 ?求双曲线的标准方程 例 1(1) 双曲线过P 3， 26 2 ，Q 1， 10 2 两点，求双曲线的标准方程； (2) 与双曲线 x 2 9 y 2 4 1 有共同渐近线，且过点A(3 ，4)，求双曲线的标准方程. 解析： (1) 设双曲线方程为 x 2 m y 2 n 1(mn0，b0)的一个焦点 F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与 另一条渐近线交于点B，若 FB 2FA ，求双曲线的离心率. 解析：如图 .因为 FB 2FA
5、 ， 所以 A 为线段 BF 的中点，所以 2 3. 因为 1 2，所以 260 ， 所以 b a tan60 3， 所以 e21 b a 2 4，所以 e2. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1：x 2 a 2y 2 b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2：x2 2py(p0) 交于点 O，A，B.若 OAB 的垂心为C2的焦点，则 C1的离心率为 3 2 . 解析：双曲线C1：x 2 a 2 y 2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，与抛物线 C2：x22py 联立， 可得 x0或 x 2pb a ， 取 A 2pb a ， 2pb2 a2 .设抛物线 C2的焦点为
6、 P 0， p 2 ， 则 kAP 4b2 a 2 4ab . 因为 OAB 的垂心为C2的焦点， 所以 4b2a2 4ab b a 1，化简得 5a24b2，所以 5a 24(c2 a2)，所以 e c a 3 2. 考向 ?双曲线性质的简单应用 例 3已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上， 离心率为 2，且过点 (4，10). (1) 求双曲线的标准方程； (2) 若点 M(3 ，m)在双曲线上，求证：点M 在以 F1F2为直径的圆上； (3) 在 (2)的条件下，求F1MF2的面积 . 解析： (1) 因为 e2， 所以 c a 2，所以 c22a2. 又 c2a2b2，所
7、以 a2b22a2，所以 ab， 所以设双曲线方程为x 2y2k(k 0). 因为双曲线经过点(4，10)， 所以 k16106， 故所求双曲线方程为 x 2 6 y2 6 1. (2) 由 (1)知，双曲线的焦点坐标为F1(23， 0)，F2(23，0). 因为点 M(3 ，m)在双曲线上，所以m2 3. 又MF1 MF2 (2 33， m) (2 33， m)m230， 所以 MF1 MF 2 ， 所以点 M 在以 F1F2为直径的圆上 . (3) 由 (2)知， F1F243， m23， 所以 |m|3， SF1MF2 1 2F 1F2 |m| 1 24 3 3 6. 自测反馈 1. 已
8、知双曲线C：x 2 a 2 y 2 b21 的离心率 e5 4，且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的方 程为 x2 16 y 2 9 1. 解析：由题意得 c a 5 4，c 5，所以 a 4，b 52423，所以双曲线C 的方程为 x 2 16 y2 9 1. 2. 已知双曲线 x2 9 y2 161 的左，右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在双曲线的右支上， 且 PF1 PF2 32，则 F1PF2 90 . 解析：由 x2 9 y2 161 得 c 2 25.因为 PF1PF22a6， PF1 PF2 32， 所以 PF2 1PF22 (PF1 PF2)22PF1 PF23
9、664100.在 F1PF2中，由余弦定理得 cosF1PF2PF 2 1PF22F1F22 2PF1 PF2 0.又因为 0 <F1PF20，b0)的左焦点、右顶点，点 B(0， b)满 足FB AB 0，则双曲线的离心率为 15 2 . 解析：由题意得F(c，0)，A(a，0)，则 FB AB (c， b)(a，b)0，即 b2ac， c2 a2ac0，所以 e 2e10，解得 e1 5 2 (负值舍去 ). 4. 若椭圆 x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 3 ，则双曲线 x2 a 2y 2 b2 1 的离心率为 15 3 . 解析：由题意，对于椭圆有a2b2c 2 1，ec 1 a 3 3 ，则 c1 3 3 a，把 c1 3 3 a 代入 a 2 b2c2 1，得 b22 3a 2.在双曲线 x 2 a2 y2 b2 1 中， a2b2c2 2，b2 2 3a 2，所以 5 3a 2 c2 2，所以 ec 2 a 15 3 . 1. 方程 mx2 ny21 表示双曲线需要满足的条件为 mn0， b0)有公共渐近线的双曲线方程可设为 x2 a 2 y2 b2( 0)，等 轴双曲线的方程可设x2y 2( 0). 3. 你还有哪些体悟，写下来：
