运筹学-第4章-线性规划在工商管理中的应用课件

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1、1,第四章 线性规划在工商管理中的应用,1 人力资源分配的问题 2 生产计划的问题 3 套裁下料问题 4 配料问题 5 投资问题,2,1人力资源分配的问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下: 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班,并 连续工作八小时,问该公交线路怎样安排司机和乘务人员, 既能满足工作需要,又配备最少司机和乘务人员?,3,1人力资源分配的问题,解:设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数: Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件:s.t. x1 + x6 6

2、0 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,4,1人力资源分配的问题,例2一家中型的百货商场,它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息,售货人员每周工作5天,休息两天,并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息,既满足工作需要,又使配备的售货人员的人数最少?,5,1人力资源分配的问题,解:设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数: Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +

3、x6 + x7 约束条件:s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0,6,2生产计划的问题,例3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品,都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的

4、铸件可以外包协作,亦可以自行生产,但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问:公司为了获得最大利润,甲、乙、丙三种产品各生产多少件?甲、乙两种产品的铸造中,由本公司铸造和由外包协作各应多少件?,7,2生产计划的问题,解:设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数,x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。 求 xi 的利润:利润 = 售价 - 各成本之和 产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15 产品甲铸造外协,其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13 产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10 产品

5、乙铸造外协,其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9 产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7 可得到 xi (i = 1,2,3,4,5) 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。,8,2生产计划的问题,通过以上分析,可建立如下的数学模型: 目标函数: Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件: 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0,9,2生产计划的问题,例4永久机械厂生

6、产、三种产品,均要经过A、B两 道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序;有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工; 可在任意规格的A设备上加工,但对B工序,只能在B1设备上加工;只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问:为使该厂获得最大利润,应如何制定产品加工方案?,10,2生产计划的问题,解:设 xijk 表示第 i 种产品,在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型: s.t. 5x111 + 10 x211 6000 ( 设备 A1 ) 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 ( 设备

7、A2 ) 6x121 + 8x221 4000 ( 设备 B1 ) 4x122 + 11x322 7000 ( 设备 B2 ) 7x123 4000 ( 设备 B3 ) x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等) x211+ x212- x221 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等) x312 - x322 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等) xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,11,2生产计划的问题,目标函数为计算利润最大化,利润的计算公式为: 利润 = (销售单价 - 原料单价

8、)* 产品件数之和 -(每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数)之和。 这样得到目标函数: Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123). 经整理可得: Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4

9、475x122-1.2304x322-0.35x123,12,3套裁下料问题,例5某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各 一根。已知原料每根长7.4 m,问:应如何下料,可使所用原料最省? 解: 共可设计下列5 种下料方案,见下表,设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数: Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件: s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1,x2,x

10、3,x4,x5 0,13,用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案:按方案1下料30根;按方案2下料10根;按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10; x3=0; x4=50; x5=0; 只需90根原材料就可制造出100套钢架。 注意:在建立此类型数学模型时,约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢,但它可能是最优方案。如果用等于号,这一方案就不是可行解了。,3套裁下料问题,14,4配料问题,例6某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙,数据如右表。 问:该厂应如何安排生产,使利 润收入为最大?,解:

11、设 xij 表示第 i 种(甲、乙、丙)产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时,要考虑: 对于甲: x11,x12,x13; 对于乙: x21,x22,x23; 对于丙: x31,x32,x33; 对于原料1: x11,x21,x31; 对于原料2: x12,x22,x32; 对于原料3: x13,x23,x33; 目标函数: 利润最大,利润 = 收入 - 原料支出 约束条件: 规格要求 4 个; 供应量限制 3 个。,15,4配料问题,利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量,故有 目标函数 Max 50(x11+x12+x13)+35

12、(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)-65(x11+x21+x31)-25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33) = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件: 从第1个表中有: x110.5(x11+x12+x13) x120.25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x220.5(x21+x22+x23),16,4配料问题,从第2个表中,生产甲乙丙的原材料不能超过原 材料的供应限额,故有 (x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100

13、(x13+x23+x33)60 通过整理,得到以下模型:,17,4配料问题,例6(续) 目标函数:Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件: s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 (原材料1不少于50%) -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 (原材料2不超过25%) 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 (原材料1不少于25%) -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 (原材料2不超过50%) x11+ x21 + x31 100 (供应量

14、限制) x12+ x22 + x32 100 (供应量限制) x13+ x23 + x33 60 (供应量限制) xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,18,4配料问题,例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述,用“辛烷数”来定量描述其点火特性,用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油,其特性和库存量列于表4-6中,将这四种标准汽油混合,可得到标号为1,2的两种飞机汽油,这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油,既满足飞机汽油的性能指标,又使2号汽油满足需求,并使得1号汽油产量最高?,表4-

15、6,表4-7,19,4配料问题,解:设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 目标函数为飞机汽油1的总产量:,库存量约束为:,产量约束为飞机汽油2的产量:,由物理中的分压定律, 可得有关蒸汽压力的约束条件:,同样可得有关辛烷数的约束条件为:,20,4配料问题,综上所述,得该问题的数学模型为:,21,4配料问题,由管理运筹学软件求解得:,22,5投资问题,例8某部门现有资金200万元,今后五年内考虑给以下的项目投资。已知:项 目A:从第一年到第五年每年年初都可投资,当年末能收回本利110%;项目B:从第 一年到第四年每年年初都可投资,次年末能收回本利125%,但规定每年最大投资额 不能超过30万元;项目C:需在第三年年初投资,第五年末能收回本利140%,但规 定最大投资额不能超过80万元;项目D:需在第二年年初投资,第五年末能收回本 利155%,但规定最大投资额不能超过100万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如右表: 问: a)应如何确定这些项目的每年投资额,使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大? b)应如何确定这些项目的每年投资额,使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小?,解: 1)确定决策变量:连续投资问题 设 xij ( i = 15

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