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1、2014 第二轮复习- 数列与数学归纳法专题1三 数列与数学归纳法专题一、 【基本解题方法】1、基本量法：我们将等差数列的首项和公差，等比数列的首项和公比称为基本量将等差数列和等比数列的问题归结为求基本量或基本量之间的关系的方法称为基本量法适用情境：当问题中涉及许多量时，我们可以利用数列的定义、通项公式、前 项和公式将所有量转化n为基本量的问题。此时，问题常常可以转化为方程或函数的问题例 1：已知等差数列的公差 ，且 成等比数列，求 的值0d931,a1042931a例 2：已知等差数列 ，试用 和 （ ）表示数列的通项 和前 项和 napqnnS2、递推法：通过求数列的递推公式，利用递推关系
2、来解决有关数列问题的方法适用情境：运用递推公式常有两种情况：（1）为了解决有关数列问题，先根据题目的已知条件，求出数列的递推公式，然后运用递推公式解题。这里得到的递推公式常常是等差数列的定义 或等比数列的定义 ，这样就将一dan1 nnqa1般的数列问题归结为等差数列或等比数列的问题了例：已知 ，求数列 的通项公式)(123*NnaSnn（2）已知数列的递推公式，要求解决有关的数列问题，在这种情况下，常常运用递推关系进行分析，找出其中的规律，然后求得结果例：已知 中 ，求数列的通项公式na32,411nna3、函数法：由于数列是定义域为自然数集或其子集上的函数，因此，许多数列问题可以用函数的方
3、法来处理。通过研究函数的性质来解决有关数列问题的方法称为函数法适用情境：对于讨论数列的增减性、最大（小）项的相关问题时，常常利用函数的相关性质来解决。值得注意的是，函数 常常是连续的，而数列 是离散的，它们既有联系，又有区别)(xf )(nf例：已知 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，求数列 的na1neanb80ln321abnb最大项和最小项的值2014 第二轮复习- 数列与数学归纳法专题24、归纳猜想证明法：先通过 的特殊情况归纳猜想出一般规律，然后用数学归纳法,321n加以证明的方法适用情境：对于有些已知数列的递推公式来求通项公式或前 项和公式的问题，常常先由递推公式求出n数列的前
4、几项，然后进行归纳和猜想，得到数列的通项公式或前 项和公式，最后用数学归纳法加以证明例：已知 是正项数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 与 2 的等差中项等于 与nannSna, nS2 的等比中项，求数列 的通项公式注：以上前 4 种方法均属于演绎推理中方法，其核心思想是“归一” 。灵活运用的关键是熟悉数列相关量之间的转化关系，如： 可以实现“和”与“通项”之间的“统一”等等)1(1nSan二、 【经典例题】【例 1】已知数列 的前 项和为 ，且 .（1）证明： 是等比数nanS*,85Nna1na列；（2）求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 .nSn1【例 2】 等差
5、数列 的前 项和为 na 239,21,SaSn（1）求数列 的通项 与前 项和 ；n（2）设 ，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列()nSbNnb2014 第二轮复习- 数列与数学归纳法专题3【例 3】已知数列 的前 项和为 .且 （1）求nanS)(*2NnSan21,a（2）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为值时， 最大？并求出 的最大值.011lgnTTnT【例 4】数列 满足： ， ，记 .na)41(1a)(2411为 偶 数为 奇 数nan )(41*2Nnabn(1)求 （2）求数列 的通项公式 （3）求数列 的各项和32, nbn【例 5】 已知数列 满足 ，且对任意 都有na2,01a*,Nnm.（1）求 ；（2）设 ，证明：12)(2manm 53, )(*12Nnabn是等差数列；（3）设 ，求数列 的前 项和 .b*10qcnn cnS
