原子物理学《褚圣麟版》+答案.pdf

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1、原子物理学习题解答原子物理学习题解答原子物理学习题解答原子物理学习题解答刘富义刘富义刘富义刘富义编编编编临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系理论物理教研室理论物理教研室理论物理教研室理论物理教研室第一章第一章 原子的基本状况原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭放射的，其动能为电子伏C67.68 10特。散射物质是原子序数的金箔。试问散射角所对应的瞄准距离多大？79Z150b解：根据卢瑟福散射公式：20022c o t4422KM vbbZ eZ e 得到：米2192150152212619079(1.6010 )3.97104(48.85

2、 10)(7.68 1010)Ze ctgctgbK式中是粒子的功能。212KMv1.2 已知散射角为的粒子与散射核的最短距离为，试问上题粒子与散射的金原子核2202121()(1)4s inmZ erM v 之间的最短距离多大？mr解：将 1.1 题中各量代入的表达式，得：mr2min202121()(1)4sinZerMv1929619479(1.6010)1910(1)7.68101.6010sin 75米143.02101.3 若用动能为 1 兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个电荷而质量是质子的e两倍，

3、是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为。当入射粒子的动能全部转化为两180粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。根据上面的分析可得：，故有：220m in124pZ eM vKr 2m in04pZ erK 米19291361979(1.6010)9101.1410101.6010由上式看出：与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代minr替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为米。131.14 101.4 钋放射的一种粒子的速度为米/秒，正面垂直入射于厚度为米 、71.597 10710密度为的金箔。试求

4、所有散射在的粒子占全部入射粒子数41.932 103/公斤 米90的百分比。已知金的原子量为。197解：散射角在之间的粒子数与入射到箔上的总粒子数 n 的比是：ddnd nN tdn其中单位体积中的金原子数：0/AuAuNmNA而散射角大于的粒子数为：0902dndnnNtd 所以有：2d nN tdn2221 8 0029 030c o s122()()4sin2A uNZ etdAM u 等式右边的积分：180180909033cossin2221sinsin22dId 故22202012()()4AuNdnZetnAMu 64008.5108.510即速度为的粒子在金箔上散射，散射角大于

5、以上的粒子数大约是71.597 10/米 秒90。4008.5 101.5粒子散射实验的数据在散射角很小时与理论值差得较远，时什么原15（）因？答：粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的角，那是多次小角散射合成的结果。 既然都是小角散射， 哪一个也不能忽略， 一次散射的理论就不适用。 所以， 粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。1.6 已知粒子质量比电子质量大7300倍。 试利用中性粒子碰撞来证明：粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。证明：设碰撞前、后粒子与电子的速度分别为：。根据动量守恒

6、定律，得：, ,0,ev vv evmvMvM由此得：(1)73001eevvMmvv又根据能量守恒定律，得：222212121emvMvMv（2）222evMmvv将（1）式代入（2）式，得：整理，得：0cos73002) 17300()17300(22vvvv00)7300173002vvvv（上式可写为：即粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为22/1005. 1米公斤的银箔上，粒子与银箔表面成角。在离 L=0.12 米处放一窗口面积为6025100 . 6米的计数器。测得散射进此窗口的粒子是全部入射粒子的百万分之 29。若

7、已知银的原子量为 107.9。试求银的核电荷数 Z。解：设靶厚度为。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚t度，而是，如图 1-1 所示。t60sin/tt因为散射到与之间立体dd角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为：(1)d nN tdn而为：d（2）2sin)()41(422220dMvzed60t,t2060图 1.1222)(7300vvvv把（2）式代入（1）式，得：（3）2sin)()41(422220dMvzeNtndn式中立体角元00220, 3/260sin/,/tttLdsdN 为原子密度。为单位面上的原子数，其中是单位Nt10)/(/NAmNt

8、AgAg面积式上的质量；是银原子的质量；是银原子的原子量；是阿佛加德罗常数。AgmAgA0N将各量代入（3）式，得：2sin)()41(324222200dMvzeANndnAg由此，得：Z=471.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为米的球形原子内，如果有能量为电子伏特的粒子射向这样一个“原子”，试通过1010610计算论证这样的粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于的散射。 这个090结论与卢瑟福实验结果差的很远， 这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的 （原子中电子的影响可以忽略） 。解：设粒子和铅原子对心碰撞， 则粒子到达原子边界而不进入

9、原子内部时的能量有下式决定：电子伏特焦耳3160221036. 21078. 34/221RZeMv由此可见，具有电子伏特能量的粒子能够很容易的穿过铅原子球。粒子在到达原子610表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：。可见，原子表面处粒子所受的斥力最大，越3022024/24/2RrZeFRZeF和靠近原子的中心粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设粒子擦原子表面而过。此时受力为。可以认为粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作2024/2RZeF用，即作用距离为原子的直径 D。并且在作用范围

10、D 之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。根据上述分析，力的作用时间为 t=D/v,粒子的动能为，因此，KMv221，所以，MKv/2KMDvDt2/根据动量定理：000MvppFdtt而202020204/24/2RtZedtRZeFdttt所以有：MvRtZe2024/2由此可得：MRtZev2024/2粒子所受的平行于入射方向的合力近似为 0，入射方向上速度不变。据此，有：32202202104 . 24/24/2MvRDZeMvRtZevvtg这时。弧度，大约是很小，因此2 . 8104 . 23tg这就是说，按题中假设，能量为 1 兆电子伏特的粒子被铅原

11、子散射，不可能产生散射角的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当粒子无限靠近原子核时，090会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生的散射，甚至会产生的散0900180射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。第二章 原子的能级和辐射2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。解：电子在第一玻尔轨道上即年 n=1。根据量子化条件，2hnmvrp可得：频率21211222mahmanhav赫兹151058. 6速度：米/秒61110188. 2/2mahav加速度：222122/10046. 9/秒米avrvw2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态

12、氢原子的电离电势和第一激发电势。解：电离能为，把氢原子的能级公式代入，得：1EEEi2/nRhcEn=13.60 电子伏特。RhchcREHi)111(2电离电势：伏特60.13eEVii第一激发能：电子伏特20.1060.134343)2111(22RhchcREHi第一激发电势：伏特20.1011eEV2.3 用能量为 12.5 电子伏特的电子去激发基态氢原子， 问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？解：把氢原子有基态激发到你 n=2,3,4等能级上去所需要的能量是：其中电子伏特)111(22nhcREH6 .13HhcR电子伏特2 .10)211 (6 .1321E电子

13、伏特1 .12)311 (6 .1322E电子伏特8 .12)411 (6 .1323E其中小于 12.5 电子伏特，大于 12.5 电子伏特。可见，具有 12.5 电子伏特能量的21EE和3E电子不足以把基态氢原子激发到的能级上去，所以只能出现的能级间的跃迁。4n3n跃迁时可能发出的光谱线的波长为：ARRARRARRHHHHHH102598)3111(1121543)2111(1656536/5)3121(13223222212212.4 试估算一次电离的氦离子、 二次电离的锂离子的第一玻尔轨道半径、 电离电eHiL势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。解：

14、在估算时， 不考虑原子核的运动所产生的影响， 即把原子核视为不动，这样简单些 。a)氢原子和类氢离子的轨道半径：31,2132,1,10529177. 0443 , 2 , 1,4410222012122220LiHHLiHHHHeZZrrZZrrZLiZHZHZmehanZnamZenhre径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中b)氢和类氢离子的能量公式：3 , 2 , 1,)4(22212220242nnZEhnZmeE其中基态能量。电子伏特，是氢原子的6 .13)4(2220421hmeE电离能之比：900,4002222HLiH

15、LiHHeHHeZZEEZZEEc)第一激发能之比：91121132341121122222122122122112122212212212211212EEEEEEEEEEEEEEEEHHLiLiHHHeHed)氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：，)11(22221nnRZv3,2, 11112)2(),1(nnnn其中是里德伯常数。32042)4(2hmeR氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：122111()12HHvR相应地，对类氢离子有：21221212211112()121113()12HeHeLiLivRvR因此，91,411111HLiHHe2.5 试问二次电离的锂离子从其第一激发态向

16、基态跃迁时发出的光子，是否有可能iL使处于基态的一次电离的氦粒子的电子电离掉？eH解：由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：iL的电离能量为：eHLiHeHeLiHeLiHeHeHeMmMmRRhvhvhcRhcRv/1/1162716274)111(42由于，LiHeLiHeMmMmMM/1/1,所以从而有，所以能将的电子电离掉。HeLihvhveH2.6 氢与其同位素氘（质量数为 2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（）光谱线之间的波长差有多大？已知氢的里德伯常数H，氘的里德伯常数。17100967758. 1米HR17100970742. 1米DR解：

17、，)3121(122HHRHHR5/36，)3121(122DDRDDR5/36ARRDHDH79. 1)11(5362.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长为多少？A解：RmmRRee834311)2111(122AR2430109737313138米2.8 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道，发射光子的频率。当 n1 时n光子频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。证明：在氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为：) 1(11122nnRvnn频率为：R

18、cnnnnnRccvn2222) 1(12) 1(11当 n1 时，有，所以在 n1 时，氢原子中3422/2/2) 1(/ ) 12(nnnnnn电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的频率为：。3/2nRcvn设电子在第 n 轨道上的转动频率为，则nf3222222nRcmrPmrmvrrvfn因此，在 n1 时，有nnfv由上可见，当 n1 时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。这说明，在 n 很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。2.9原子序数 Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：Li。已知锂原子电离成离子需要 203.44 电子

19、伏特的22)0401. 0()5951. 01 (nRRvLi功。问如把离子电离成离子，需要多少电子伏特的功？LiLi解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的 p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以离子Li电离成离子时，有Li电子伏特35. 5)5951. 01 ()5951. 01 (221hcRRhcRhcE是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此时，电离能为：LiLiLi3E。电子伏特4 .12212223hcRZRhcZER设的电离能为。而需要的总能量是 E=203.44 电子伏特， 所以有LiLi2ELiLi电子伏

20、特7 .75312EEEE2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？答：设原子的磁矩为，磁场沿 Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为，于是Z具有磁矩的原子在磁场中所受的力为，其中是磁场沿 Z 方向的梯度。ZBFZZB对均匀磁场，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场0ZB的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，原子在磁场中除做上述运动外，还0ZB受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为特斯拉/米，磁极纵向范围=0.04 米(见图 2-2)，从磁极到屏距

21、离=0.10米 ，310ZB1L2L原子的速度米/秒。在屏上两束分开的距离米。试确定原子磁矩在磁2105v002. 0d场方向上投影的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计） 。解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域后向外射出时粒子的速度为，出射方向与2L1Lv入射方向间的夹角为。与速度间的关系为：vvtg粒子经过磁场出射时偏离入射方向的距离 S 为：1L（1）ZvLZBmS21)(21将上式中用已知量表示出来变可以求出Z22122121122/,vLLZBmdSdSvLLZBmtgLSvLZBmvvLtZBmmfaatvZZZ

22、把 S 代入（1）式中，得：22122122vLZBmvLLZBmdZZ整理，得：2)2(22121dLLvLZBmZ由此得：特焦耳/1093. 023Z2.12 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度，在沿粒子束方向秒米/103v上相距 1.5 毫米其共振光谱线强度减少到 1/3.32。 试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。解：设沿粒子束上某点 A 和距这点的距离 S=1.5 毫米的 B 点，共振谱线强度分别为，并设粒子束在 A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为，原子束10II和20N经过 t 时

23、间间隔从 A 到达 B 点，在 B 点处于激发态的粒子数为。2N光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。 设发射共振谱线的跃迁几率为，则有21A202202122101NNNANAII适当选取单位，使，32. 3/120201NNII并注意到，vSteNNtA/,21202而则有：32. 3/121202tAeNN由此求得：秒63321211025. 132. 3ln10105 . 132. 3ln132. 3ln) 1ln32. 3(ln1vsAtsvtA第三章 量子力学初步3.1 波长为的 X 光光子的动量和能量各为多少？A1解：根据德布罗意关系式，得：动量为：124

24、10341063. 6101063. 6秒米千克hp能量为：/hchvE。焦耳151083410986. 110/1031063. 63.2 经过 10000 伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长用上述电压加速的质?子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：对于电子：meVh2/库仑公斤，19311060. 11011. 9em把上述二量及 h 的值代入波长的表示式，可得：AAAV1225. 01000025.1225.12对于质子，代入波长的表示式，得：库仑公斤，19271060. 11067. 1em34327196.626 102.862 102 1.67 10

25、1.60 1010000A3.3 电子被加速后的速度很大， 必须考虑相对论修正。因而原来的电子德AV25.12布罗意波长与加速电压的关系式应改为：AVV)10489. 01 (25.126其中 V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。证明：德布罗意波长：ph/对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能 K 与其动量 p 之间有如下关系：222022cpcKmK而被电压 V 加速的电子的动能为：eVK2200222/)(22)(ceVeVmpeVmceVp因此有：2002112/cmeVeVmhph一般情况下，等式右边根式中一项的值都是很小的。所以，可以将上式的202/cmeV根式作泰勒展开。只取

26、前两项，得：)10489. 01 (2)41 (260200VeVmhcmeVeVmh由于上式中，其中 V 以伏特为单位，代回原式得：AVeVmh25.122/0AVV)10489. 01 (25.126由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。 上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。证明：轨道量子化条件是：nhpdq对氢原子圆轨道来说，mvrmrppr2, 0所以有：3 , 2 , 1,22nnmvhnrSnhmvrpd所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电

27、子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：hndrphndprr其中rrrnnnnhdpdrpmrprmp其中,)(,2而)()(2dmrdrrmdpdrprndsdshdsrhmvdsdtmvdtdtdmrdtdtdrrm22)(因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。3.5 带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为 1 微米。当观察能量为 1000 电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？解：由题知,电子动能 K=1000 电子伏特，米，动量相对偏差为。610xpp/根据测不准原理，有，由此得：2hxpxhp2经典力学的动量为：

28、51009. 3222mKxhppmKp电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小， 足见电子的径迹与直线不会有明显区别。3.6 证明自由运动的粒子（势能）的能量可以有连续的值。0V证明：自由粒子的波函数为：（1）)(EtrphiAe自由粒子的哈密顿量是：（2）222mhH自由粒子的能量的本征方程为：（3）EH把（1）式和（2）式代入（3）式，得：EAemhEtrphi2)(22即：mpEEmpEedzddyddxdAmhEtzpypxphizyx22)(222)(22222222自由粒子的动量 p 可以取任意连续值，所以它的能量 E 也可以有任意的连续值。3.7 粒子位于一维对称势场中

29、，势场形式入图 3-1，即0,0,00VLxVVLxx（1）试推导粒子在情况下其总能量 E 满足的关系式。0VE（2）试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值。解：为方便起见,将势场划分为三个区域。（1）定态振幅方程为0)(2)()(22)(2xxxVEhdxd式中是粒子的质量。区：)(20022222EVhdxd其中波函数处处为有限的解是：。是一任意常数AAexx,)(1区：Ehdxd2222220其中处处有限的解是：是任意常数。,),sin()(2BxBx区：)(20022222EVhdxd其中处处有限的解是：是任意常数。DDexx,)(3有上面可以得到：,1),(1

30、,1332211dxdxctgdxddxd有连续性条件，得：ctgLctg)(解得：221)(Ltg因此得：)/(21tgnL这就是总能量所满足的关系式。（2）有上式可得：)22(Lntg偶数，包括零奇数nLtgnLctg22亦即2)(2)(LtgLLLctgLL令，则上面两方程变为：vLuL,）（）（2212uutgvuutgv另外，注意到还必须满足关系：vu和）（3/222022hLVvu所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。3.8 有一粒子，其质量为,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为m在势箱外，势能；在势箱内，。式计算出粒子可能具有的能量。cba、V0V解：势能分

31、布情况，由题意知：czzVbyyVaxxVczVbyVaxVzyxzyx和和和0,0,0,;0 , 0;0 , 0;0 , 0在势箱内波函数满足方程：),(zyx0)(22222222222zyxVVVEhmzyx解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。令)()()(),(zZyYxXzyx代入（1）式，并将两边同除以，得：)()()(zZyYxXEhmVhmdzZdZVhmdyYdYVhmdxXdXzyx22222222222)21()21()21(方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因此，每一部分都应等于一个常数。由此，得到三个方程如下：皆为常数

32、。其中zyxzyxzzyyxxEEEEEEEEhmVhmdzZdZEhmVhmdyYdYEhmVhmdxXdX,221221221222222222222将上面三个方程中的第一个整数，得：（2）0)(2222XVEhmdxXdxx边界条件：0)()0(lXX可见，方程（2）的形式及边界条件与一维箱完全相同，因此，其解为：3 , 2 , 1,2sin22222xxxxnnnahExanaX类似地，有)(2sinsinsin8),(3 , 2 , 1,2sin23 , 2 , 1,2sin22222222222222222cnbnanmhEcznbynaxnabczyxnnchEzcncZnnbh

33、EybnbYzyxzyxzzzznyyyyn可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。对于方势箱，,波函数和能量为：cba222222223,2sinsinsin8),(zyxzyxnnnnnmahEaznaynaxnazyx第四章 碱金属原子4.1 已知原子光谱主线系最长波长，辅线系系限波长。求LiA6707A3519锂原子第一激发电势和电离电势。解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为，电离电势为，则有：1VV伏特。伏特375. 5)11(8

34、50. 111ehcVchcheVehcVcheV4.2原子的基态 3S。 已知其共振线波长为 5893， 漫线系第一条的波长为 8193，NaAA基线系第一条的波长为 18459，主线系的系限波长为 2413。试求 3S、3P、3D、4F 各谱AA项的项值。解：将上述波长依次记为AAAApfdppfdp2413,18459,8193,5893,maxmaxmaxmaxmaxmax即容易看出：16max3416max3316max316310685. 0110227. 1110447. 21110144. 41米米米米fDFdpDpPPPSTTTTTvT4.3 K 原子共振线波长 7665，主

35、线系的系限波长为 2858。已知 K 原子的基态 4S。AA试求 4S、4P 谱项的量子数修正项值各为多少？ps ,解：由题意知：PPsppvTAA/1,2858,76654max由，得：24)4(sRTSSkTRs4/4设,则有RRKmax411,229. 2PPPTs与上类似764. 1/44PTRp4.4原子的基态项 2S。当把原子激发到 3P 态后， 问当 3P 激发态向低能级跃迁时LiLi可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中 n 相同而 l 不同的能级有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数 n 有关，而且与角量子数 l

36、有关，可以记为。理论计算和实验结果都表明 l 越小，能量越低于相应的氢原子的能量。),(lnEE当从 3P 激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：，可能产生四条光谱，分别由1l以下能级跃迁产生：。SPSPPSSP23 ;22 ;23 ;334.5 为什么谱项 S 项的精细结构总是单层结构？试直接从碱金属光谱双线的规律和从电子自旋与轨道相互作用的物理概念两方面分别说明之。答：碱金属光谱线三个线系头四条谱线精细结构的规律性。第二辅线系每一条谱线的二成分的间隔相等， 这必然是由于同一原因。 第二辅线系是诸 S 能级到最低 P 能级的跃迁产生的。最低 P 能级是这线系中诸线共同有关的，所以如果我们认为

37、 P 能级是双层的，而 S 能级是单层的，就可以得到第二辅线系的每一条谱线都是双线，且波数差是相等的情况。主线系的每条谱线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少，足见不是同一个来源。主线系是诸 P 能级跃迁到最低 S 能级所产生的。 我们同样认定 S 能级是单层的， 而推广所有P 能级是双层的，且这双层结构的间隔随主量子数 n 的增加而逐渐减小。这样的推论完全符合碱金属原子光谱双线的规律性。因此，肯定 S 项是单层结构，与实验结果相符合。碱金属能级的精细结构是由于碱金属原子中电子的轨道磁矩与自旋磁矩相互作用产生附加能量的结果。S 能级的轨道磁矩等于 0，不产生附加能量，只有一个能量值，因而 S

38、 能级是单层的。4.6 计算氢原子赖曼系第一条的精细结构分裂的波长差。解：赖曼系的第一条谱线是 n=2 的能级跃迁到 n=1 的能级产生的。根据选择定则，跃迁只能发生在之间。而 S 能级是单层的，所以，赖曼系的第一条谱线之精细结构SP2212是由 P 能级分裂产生的。氢原子能级的能量值由下式决定：)43211()()(34222njnSZRhcanZRhcE其中1)()(SZZ)1 ()2()1 ()2()1 ()2()1 ()2(2/122/12222/122/122/122/32112/122/32SEPEhcchSEPESEPEhcchSEPE因此，有：44)1 (64516)2(641

39、6)2()1 ()2()1 ()2()1 ()2(22/1222/1222/322/122/122/122/322/122/3212aRhcSEaRhcPEaRhcPESEPESEPESEPEhc将以上三个能量值代入的表达式，得：AaaaRRaaa3132222221039. 51039. 5)1548)(1148(4641641548641148644米4.7原子光谱中得知其 3D 项的项值， 试计算该谱项之精细Na163102274. 1米DT结构裂距。解：已知17163100974. 1,102274. 1米米NaDRT134*2*3*655. 3) 1(/9901. 2米所以有：而ll

40、nZRaTnnZTRnDNa4.8 原子在热平衡条件下处在各种不同能量激发态的原子的数目是按玻尔兹曼分布的，即能量为 E 的激发态原子数目。 其中是能量为的状态的KTEEeggNN/ )(0000N0E原子数，是相应能量状态的统计权重，K 是玻尔兹曼常数。从高温铯原子气体光谱中0gg和测出其共振光谱双线。试估算此气体321 .8521,5 .89432121：的强度比IIAA的温度。已知相应能级的统计权重。4, 221gg解：相应于的能量分别为：21，2211/;/hcEhcE所测得的光谱线的强度正比于该谱线所对应的激发态能级上的粒子数 N，即1221212132322121ggeeggNNI

41、INIKTEEKTEE由此求得 T 为：KggKEET277332ln1212第五章 多电子原子5.1原子的两个电子处在 2p3d 电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符eH号表示之。已知电子间是 LS 耦合。解：因为，21, 2, 12121ssll1 , 2 , 3; 1 , 0, 1,;2121212121LSllllllLssssS，或所以可以有如下 12 个组态：4,3,23313,2,13212,1,0311,1,3,0,3,1,2,0,2,1,1,0,1FSLFSLDSLDSLPSLPSL5.2 已知原子的两个电子被分别激发到 2p 和 3d 轨道，器所构成的原子态为，e

42、HD3问这两电子的轨道角动量之间的夹角，自旋角动量之间的夹角分别为多21llpp与21sspp与少？解： （1）已知原子态为，电子组态为 2p3dD32, 1, 1, 221llSL因此，21222122122212222111461063212/ )(coscos26) 1(6) 1(22) 1(LllllLLLllllLLllppppPppppPLLPllphllp（2）hhSSPhhssppssS2) 1(23) 1(212121而212221221222123270312/ )(coscos2SssssSssssssSppppPppppP5.3 锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基

43、态时的组态是 4s4s。当其中有一个被激发，考虑两种情况： （1）那电子被激发到 5s态； （2）它被激发到 4p 态。试求出 LS 耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？解： （1）组态为 4s5s 时，21, 02121ssll1301, 1;1, 001 , 0, 0SJSSLJSSL三重态时单重态时，根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的 5 种跃迁：011123131313031311014445 ;45;45 ,45SPPSPSPSPS所以有 5 条光谱线。（2）

44、外层两个电子组态为 4s4p 时：，21, 1, 02121ssll0, 1 , 2311, 0 , 1 , 2;1, 101 , 0, 1PJSPLJSSL三重态时单重态时，根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁，011144SP因此只有一条光谱线。5.4 试以两个价电子为例说明,不论是LS耦合还是jj耦合都给出同样数3221ll和目的可能状态.证明:(1)LS 耦合LJSLS;0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5; 10时，5 个 L 值分别得出 5 个 J 值,即 5 个单重态; 1, 1;1LLLJS时代入一个 L 值便有一个三重态个 L 值共有乘等于个

45、原子态：6, 5 , 435 ,4, 334, 3 , 233 , 2, 132, 1 , 03;HGFDP因此，LS 耦合时共有个可能的状态（）jj 耦合：21212121,.,2527;2325;jjjjjjJjjsljslj或或或将每个合成 J 得：21jj、1 , 2 , 3 , 425230 , 1 , 2 , 3 , 4 , 525252 , 3 , 4 , 527231 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6272521212121JjjJjjJjjJjj，合成和，合成和，合成和，合成和共个状态：1 , 2, 3 ,40, 1 ,2, 3 ,4, 52, 3 ,4, 51 , 2

46、, 3 , 4, 5 ,6)25,23( ;)25,25( ;)27,23( ,)27,25(所以，对于相同的组态无论是 LS 耦合还是 jj 耦合，都会给出同样数目的可能状态5.5利用 LS 耦合、泡利原理和洪特定则来确定碳 Z=6、氮 Z=7 的原子基态。解:碳原子的两个价电子的组态 2p2p,属于同科电子.这两个电子可能有的值是lm1,0,-1;可能有,两个电子的主量子数和角量子数相同,根据泡利原理,它们21,21值是sm的其余两个量子数至少要有一个不相同.它们的的可能配合如下表所示.slmm和slmm和为了决定合成的光谱项,最好从的最高数值开始，因为这就等于 L 出现的liLmM最高数

47、值。现在，得最高数值是 2，因此可以得出一个 D 项。又因为这个只与LMLM相伴发生，因此这光谱项是项。除了以外，也属于0SMD12LM2, 1, 0 , 1LM这一光谱项，它们都是。这些谱项在表中以的数字右上角的记号“。”表示。0SMLM共有两项是；有三项是。在寻找光谱项的过程中，把它0, 1SLMM0, 0SLMM们的哪一项选作项的分项并不特别重要。 类似地可以看出有九个组态属于项，在表中D1P3以的LM碳原子氮原子1sm2sm1lm2lmSisiMmLiliMm1/21/21011*1/21/21-110*1/21/20-11-1*1/2-1/2110201/2-1/2100101/2-

48、1/21-10001/2-1/20101*1/2-1/200001/2-1/20-10-1*1/2-1/2-1100*1/2-1/2-100-101/2-1/2-1-10-20-1/2-1/210-11*-1/2-1/21-1-10*-1/2-1/20-1-1-1*1sm2sm3sm1lm2lm3lmSisiMmLiliMm1/21/21/210-13/201/21/21/201-13/20*数字右上角的记号“*”表示。剩下一个组态，它们只能给出一个项 。0, 0SLMMS1因此，碳原子的光谱项是、和，而没有其它的项。D1P3S1因为在碳原子中项的 S 为最大，根据同科电子的洪特定则可知，碳原

49、子的项应最P3P3低。碳原子两个价电子皆在 p 次壳层，p 次壳层的满额电子数是 6，因此碳原子的能级是正常次序，是它的基态谱项。03P氮原子的三个价电子的组态是，亦属同科电子。它们之间满足泡利原理的可ppp222能配合如下表所示。表中删节号表示还有其它一些配合，相当于此表下半部给出的间以及间发生交smlm换。由于电子的全同性，那些配合并不改变原子的状态，即不产生新的项。由表容易判断，氮原子只有、和。根据同科电子的洪特定则，断定氮原子的D2P2S4基态谱项应为。2/34S5.6 已知氦原子的一个电子被激发到 2p 轨道，而另一个电子还在 1s 轨道。试作出能级跃迁图来说明可能出现哪些光谱线跃迁

50、？解：1; 1 , 0; 2/1, 1, 02121LSssll对于，单态1P11, 0LJS对于，三重态3P2，1，00 , 1 , 2, 1JS根据选择定则，可能出现 5 条谱线，它们分别由下列跃迁产生：21P111S0；21P121S023P023S1；23P123S1；23P223S11/21/21/2-1013/20-1/2-1/2-1/210-13/20*-1/2-1/2-1/201-13/20-1/2-1/2-1/2-1013/20* 1/21/2-1/21011/221/21/2-1/21001/211/21/2-1/210-11/20*1/21/2-1/2-1001/2-11

51、/21/2-1/2-10-11/2-21/21/2-1/21-111/211/21/2-1/21-101/201/21/2-1/21-1-11/2-1 3S13P03P13P21S03S11S01s2p1s2s1s1s5.7原子的能级是单层和三重结构，三重结构中 J 的的能级高。其锐线系的三重Ca线的频率，其频率间隔为。试求其频率间隔比值012vvv122011,vvvvvv。12vv解：原子处基态时两个价电子的组态为。的锐线系是电子由激发的能级Cass44Cas向能级跃迁产生的光谱线。与氦的情况类似，对组态可以形成的原子p4ps440, 1 ,2311PP和态，也就是说对 L=1 可以有 4

52、 个能级。电子由诸激发能级上跃迁到能级上则产生S30, 1 ,23P锐线系三重线。根据朗德间隔定则，在多重结构中能级的二相邻间隔同有122011,vvvvvv关的 J 值中较大的那一个成正比，因此，所以。1, 221vv2112vv5.8原子基态的两个价电子都在轨道。若其中一个价电子被激发到轨道，而Pbp6s7其价电子间相互作用属于耦合。问此时原子可能有哪些状态？jjPb解：激发后铅原子的电子组态是。sp76012121. 1 , 2212321;212321,21; 0, 12121212121，合成和合成和或或JjjJjjjjslsljssll因此，激发后原子可能有四种状态：Pb。0112

53、2121212121232123），（），（），（），（5.9 根据 LS 耦合写出在下列情况下内量子数 J 的可能值（1）， （2）， （3）2, 3SL27, 3SL23, 3SL解： （1）因为SLSLSLJ,.,1,所以,共 2S+1=5 个值。1 , 2 , 3 , 4 , 5J（2）类似地，共有 7 个值。这里 L1 时，则正比于。根据静电学的计算可知,2Z每一对质子的静电斥力能是，R 是核半径。若二质子间的距离为 R，它们之间的库ReE562仑力为，则有，由此得：fEfR2256ReREf采用 SI 制,则:.18.2848.2765641220公斤牛顿 Ref所以:原子核中二质

54、子之间的库仑力为 28.18 公斤.10.6算 出的 反 应 能 . 有 关 同 位 素 的 质 量 如HeapLi4273),(下:.015999. 7 ,;002603. 4 ,;007825. 1 ,734211LiHeH解:核反应方程式如下:HeHepLi42421173MeVMeVcmmmmQ35.175 .931)002603. 42()007825.13015999. 7()()(23210反应能是,大于零,是放能反应.MeV35.1710.7 在第六题的核反应中，如果以 1MeV 的质子打击，问在垂直于质子束的方向观Li测到的能量有多大？He42解：根据在核反应中的总质量和联系

55、的总能量守恒，动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的核应沿入射质子的方向对称飞开。如图所示。He42根据动量守恒定律有：321PPP矢量合成的三角形为一个等腰三角形,二底角皆为.321,PPP又因为,因而有32mm32EE已知反应能,由能量守恒定律得:其中MeVQ35.17132EEEQMeVE11由此可得:MeVEQEE175. 9)(21132反应所生成的粒子其能量为 9.175MeV.核飞出方向与沿入射质子的方向之间的夹角为:He42cos221222123PPPPP由于MEP22所以得:cos2)1 ()1 (32121131232AEEAAEAAEAAQ(质量之比改为质量数之比)16

56、850825. 0432coscos432:4, 121122112321EEEQEEEEEQAAA代入上式得由此可知,垂直于质子束的方向上观察到的的能量近似就是 9.175MeV。He4210.8 试计算1克裂变时全部释放的能量约为等于多少煤在空气中燃烧所放出的热U235能（煤的燃烧约等于焦耳/千克；焦耳） 。6103313106 . 11MeV解：裂变过程是被打击的原子核先吸收中子形成复核，然后裂开。YXUnU236921023592我们知道，在 A=236 附近，每个核子的平均结合能是 7.6MeV；在 A=118 附近，每一个核子的平均结合能量是 8.5 MeV。所以一个裂为两个质量相

57、等的原子核并达到稳定态时，总共放出的能量大约是：MeVMeVMeV2106 . 72365 . 822362而焦耳，所以：。13106 . 11MeV焦耳111036. 31 克中有 N 个原子；U235焦耳10210106 . 81056. 2NEAMNN它相当的煤质量。吨公斤6 . 2106 . 23M10.9 计算按照（10.8-1）式中前四式的核聚变过程用去 1 克氘所放出的能量约等于多少煤在空气中燃烧所放出的热能（煤的燃烧热同上题） 。解：四个聚变反应式是：完成此四个核反应共用六个，放出能量 43.2 MeV，平均每粒放出 7.2 MeV，单H2H2位质量的放出 3.6 MeV。1

58、克氘包含 N 粒，则H2H2230100 .3AMNN所以 1 克氘放出的能量约等于：焦耳1124105 . 3102 . 22 . 7MeVMeVNE与它相当的煤：吨公斤6 .10106 .103aEM10.10 包围等离子体的磁通量密度 B 是，算出被围等离子体的压强。2/2米韦伯解：根据公式:得：020222外内内BBP，式中是等离子体的压强； B 是磁通密度；是真空中的磁导率 ，020222外内内BBP内P0等于，设小到可以忽略，则得到：米亨/1047内B2502/1092.152米牛顿外内BP因，故24/1013.101米牛顿大气压大气压内7.15P第十一章 基本粒子11.1 算出原

59、子核中两个质子间的重力吸引力和静电推斥力。可以看出重力吸引力远不足以抵抗静电推斥力。 这说明原子核能够稳固地结合着， 必有更强的吸引力对抗库仑力而有余。解：原子核中两个质子间的静电斥力势能近似为，R 是原子核半径，是电子电荷Re2e绝 对 值 。 因 此 ， 两 个 质 子 间 的 排 斥 力 近 似 地 为。 注 意 到22ReF则,10,1080. 41310cmRCGSEe)(50.23公斤力F如 果 把 R 视 作 两 质 子 间 的 距 离 , 则 它 们 间 的 重 力 吸 引 力 f 可 估 算 如下:)(1085. 2352公斤力Rmmrfpp由上面的结果看出，重力吸引力远不能

60、抵消库仑斥力。原子核能稳固地存在，质子间必有强大的吸引力。这种力就是核力。11.2 在介子撞击质子的实验中，当介子的实验室能量为 200MeV 时，共振态的激发最大，求的质量。解：介子的动能MeVT200介子的静能MeVMeVcm140511. 02732介子的总能量MeVcmTE3402实验室系中介子的动量是cMeVcmEcP/310)(1222质子的静能MeVcmp9382共振粒子的总能量等于介子总能量和质子静能之和：EMeVcmEEp12782碰撞前质子静止。 根据动量守恒定律,粒子的动量等于介子的动量.PPPP:根据狭义相对论，粒子的质量由下式决定：m2222/1240)(1cMeVc

61、pEcm与粒子的质量相联系的能量是.MeV124011.3 在下列各式中，按照守恒定律来判断，哪些反应属于强相互作用，哪些是弱相互作用，哪些是不能实现的，并说明理由。.)7()6() 5()4() 3()2() 1 (00000KKnpppppnvveepeepe解 ： （1）左侧重子数是+1，右侧重子数是 0，衰变前后重子数不相等。三种基本相互作用重子数都要守恒。因此，所列衰变实际上是不存在的。（2）左侧轻子数是 0，右侧轻子数是+1，衰变前后轻子数不相等。这种衰变方式不能实现，因为三种基本相互作用都要求轻子数守恒。（3）两侧轻子数都是+1，守恒。但左侧电轻子数是 0，右侧电轻子数是+2，电

62、轻子数不守恒。这种衰变实际上也不能出现，因为三种基本相互作用要求两类轻子数分别守恒。（4）左侧奇异数是 0，右侧奇异数是-2。奇异数不守恒，只可能是弱相互作用。这个作用没有轻子参加。实际存在的这种类型的弱相互作用，要满足，而这里的。1s2s因此，这种过程实际上是不存在的。（5）光子的重子数和奇异数都是 0。的重子数是+1，的重子数是奇异数是-1。pp的奇异数都是 0。的同位旋相同。所列反应重子数和奇异数分别守恒，不可能pp和pp和是弱相互作用。质子和反质子，通常在强作用下湮灭后转变成若干个介子。这里所列pp的反应，可以在电磁相互作用下实现。（6）反应前奇异数是 0，反应后是+2，奇异数不守恒。

63、奇异粒子只在强相互作用过程中产生，并且要求奇异数守恒。因此，上列反应不可能实现。（7）.000K衰变后静能MeVE2 .548后衰变前静能MeVE8 .497前因此，从能量守恒考虑，这种衰变方式实际上并不存在。11.4 对重子，从它的有关量子数来考虑，试认出是那、00np三个层子构成的。解：重子由三个层子按不同的组合构成，这三个层子是。层子是奇异层子。sdu、s奇异重子中一定要有奇异层子， 非奇异重子中不能有存在。 三个层子的性质如下表所示 。ss按照简单的规则把三个层子结合起来就构成重子。例如，质子和介子，它们的性p0质可列成下面的表。质子不是奇异粒子，它一定不包括，除了同位旋 I 之外，将

64、构成质子s的每个层子的各种量子数分别相加，应该等于质子的相应量子数。这样，可以确认质子是由两个层子和一个层子构成的。类似地可以断定由构成。因此，题中给出的ud0sdu、重子的层子成分可开列如下：)(, )(),(, )(),(),(),(0sssddsudsuusudsuddnuudpo都是由构成，但它们是的不同组合.00和sdu、sdu、层子是费米子，自旋是。实验给出的自旋是，奇异数是-3。因此，一定是三2123个层子构成。但是，三个层子的自旋必须平行，这违背泡里原理。为了解决类似的矛盾 ，ss提出了层子有“颜色”自由度，每个层子皆有自己的“色荷”。中的三个层子，尽管自旋平s行，但因它们具有

65、不同的“色荷”，泡里原理是容许的。把重子中的各个层子换成相应的反层子，则重子就成了相应的反重子。11.5 认出下列介子的成分：0000,K, K, K, K,解：介子有一个层子和一个反层子构成。把层子的量子数（同位旋除外）变号就得相应的反层子的量子数。与上题类似，上述介子的层子成分可开列如下：)(),(),(),(),(),(00dsKusKsdKsukuddu的结构较为复杂:00,)(31),2(61),(2100s sdduus sdduudduu而且后两者的成分尚有混合。11.6 试讨论下列三式：npvnvenee)3()2() 1 (讨论： （1）的质量比与的质量之和大的多。从能量角度

66、考虑衰变似乎可以产ne生。但是，的奇异数，右侧奇异数是 0，奇异数的改变。奇异粒子衰变1s1S成强子和轻子，要克服从，是奇异粒子和强子间的电荷改变。在这个衰变式SQQ中，因此是不能实现的过程。SQ1（2）奇异粒子只在强作用过程中协同产生，只在弱作用过程中衰变。奇异粒子的产生和衰变服从如下的选择定则：.),( ,)( , 1)( , 0子间的电荷改变是过程中奇异粒子与强轻子奇异粒子衰变为强子和的弱衰变和对奇异粒子不产生对奇异粒子的强产生QSQeS本例中，左侧奇异数是-2，右侧奇异数是 0。奇异数改变。因此，这个过12S程实际不能实现。（3）电轻子数，左侧是+1，右侧是 0，不相等。轻子数，左侧是 0，右侧是-1，不相等。此反应违背轻子数守恒定律，用任何一种方式的基本相互作用都不能实现。