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1、1.在等差数列an中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项之和 解法一解法一 由 a6a9a12a1534 得 4a138d34 20a1190d 5(4a138d)=534=170 由等差数列的性质可得： a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17 S20170 2.已知等差数列an的公差是正数，且 a3a7=12，a4a6=4，求它的前 20 项的和 S20的值 解法一解法一 设等差数列an的公差为 d，则 d0，由已知可得 由，有 a124d，代入，有 d2=4 再由 d0，得 d2 a1=10 最后由等差数列的前 n 项和公式，可求得 S20180 解法二解法二 由等
2、差数列的性质可得： a4a6a3a7 即 a3a74 又 a3a7=12，由韦达定理可知： a3，a7是方程 x24x120 的二根 解方程可得 x1=6，x22 又 S20ad 201 2019 2 解法二解法二 S= (a +a )20 2 =10(aa ) 20 120 120 (a2d)(abd)12 a3da5d =4 11 11 d0 an是递增数列 a36，a7=2 3. 等差数列an的前 n 项和 Snm，前 m 项和 Smn(mn)，求前 mn 项和 Sm+n 解法一解法一 设an的公差 d 按题意，则有 =(mn) 解法二解法二 设 SxAx2Bx(xN) ，得 A(m2n
3、2)B(mn)nm mn A(mn)B=1 故 A(mn)2B(mn)(mn) 即 Sm+n(mn) 4.设 xy，且两数列 x，a1，a2，a3，y 和 b1，x， d = a = 2a10S180 7 120 a3 73 ， Snadm Smadn (mn)ad = nm n1 m1 1 ，得 n n m m mn mn () () ()() 1 2 1 2 1 2 即 ad =1 1 mn Smn a mn mn d mn a mn d m n 1 2 1 2 1 2 1 1 () ()() ()() AmBmn AnBnm 2 2 bbyb 234 ， ，均为等差数列，求 bb aa
4、43 21 5.在等差数列an中， 设前 m 项和为 Sm， 前 n 项和为 Sn， 且 SmSn， mn， 求 Sm+n 且 SmSn，mn Sm+n0 6. 在等差数列an中， 已知 a125， S9S17， 问数列前多少项和最大， 并求出最大值 解法一解法一 建立 Sn关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值 a1=25，S17S9 解得 d2 当 n=13 时，Sn最大，最大值 S13169 解法二解法二 因为 a1=250，d20，所以数列an是递减等 分析分析 解解 d = yx 5 1 (1) = yx 52 (2) 可采用 由 aa mn aa bb mn 21 43 32 6
5、4 (2)(1)，得 bb aa 43 21 8 3 解解 S(mn)a(mn)(mn1)d (mn)a(mn1)d m+n1 1 1 2 1 2 整理得 mam(m1)dnan(n1)d (mn)a(mn)(mn1) = 0 11 1 1 2 1 2 2 d 即 由 ，知 (mn)a(mn1)d= 0 mna(mn1)d0 1 1 1 2 1 2 根据题意： ， S=17adS9ad 17191 1716 2 98 2 S25n(2) =n26n =(n13)169 n 22 n n()1 2 a125，S9S17 an=25(n1)(2)=2n27 即前 13 项和最大，由等差数列的前 n
6、 项和公式可求得 S13=169 解法三解法三 利用 S9=S17寻找相邻项的关系 由题意 S9=S17得 a10a11a12a17=0 而 a10a17=a11a16=a12a15=a13a14 a13a140，a13=a14 a130，a140 S13=169 最大 解法四解法四 根据等差数列前 n 项和的函数图像，确定取最大值时的 n an是等差数列 可设 SnAn2Bn 二次函数 y=Ax2Bx 的图像过原点，如图 321 所示 S9S17， 取 n=13 时，S13169 最大 差数列，若使前 项和最大，只需解 ，可解出 n a0 a0 n n n+1 ，解得925 2 d =172
7、5dd =2 981716 2 2n270 2(n1)270 n13.5 n12.5 n =13 对称轴 x = 9 +17 2 =13 7求数列的通项公式： (1)an中，a12，an+13an2 (2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0 思路：转化为等比数列 an1是等比数列 an1=33n-1 an=3n1 an+1an是等比数列，即 an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1 再注意到 a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2， 这些等式相加，即可以得到 +2 说明说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现
8、an1 是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体 现 8. 三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数 解法一解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2 由已知：a，aq4，aq2成等差数列 即：2(aq4)=aaq2 a，aq4，aq232 成等比数列 即：(aq4)2=a(aq232) 解解 (1)a=3a2a1=3(a1) n+1nn+1n (2)a3a2a =0aa=2(aa ) n+2n+1nn+2n+1n+1n a = 31222= 3= 3(21) n 2n-
9、2n 1 21 21 1n aq2=4a 解法二解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 bd，b4，bd 由已知：三个数成等比数列 即：(b4)2=(bd)(bd) bd，b，bd32 成等比数列 即 b2=(bd)(bd32) 解法三解法三 任意设三个未知数，设原数列为 a1，a2，a3 由已知：a1，a2，a3成等比数列 a1，a24，a3成等差数列 得：2(a24)=a1a3 a1，a24，a332 成等比数列 得：(a24)2=a1(a332) ，两式联立解得：或 这三数为： ， ，或， a = 2 q = 3 a = 2 9 q =5 2618 2 9 10 9 50 9 8bd =
10、16 2 32bd32d =0 2 、两式联立，解得：或 三数为，或 ， ， b = 26 9 d = 8 3 b =10 d =8 2618 2 9 10 9 50 9 得：a =a a 2 2 13 说明说明 将三个成等差数列的数设为 ad，a，ad；将三个成 简化计算过程的作用 9. 证证 Sn=a1a1qa1q2a1qn-1 S2n=Sn(a1qna1qn+1a1q2n-1) =Snqn(a1a1qa1qn-1) =SnqnSn =Sn(1qn) 类似地，可得 S3n=Sn(1qnq2n) 说明说明 本题直接运用前 n 项和公式去解，也很容易上边的解法，灵活地处 理了 S2n、S3n与
11、 Sn的关系介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因 式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧 10数列an是等比数列，其中 Sn=48，S2n=60，求 S3n 解法一解法一 利用等比数列的前 n 项和公式 若 q=1，则 Sn=na1，即 na1=48，2na1=9660，所以 q1 、式联立，解得：或 a = 2 9 a = 10 9 a = 50 9 a = 2 a = 6 a =18 1 2 3 1 2 3 等比数列的数设为 ，或， ，是一种常用技巧，可起到aaqaq (aaq) 2 a q 【例2】【例2】求证：对于等比数列，有SS=S (SS
12、) n 2 2n 2 n2n3n S +S=SS (1q ) =S (22qq ) n 2 2n 2 n 2 n n2 n 2n2n S (SS ) = S S (1q )S (1qq) = S (22qq) SS=S (SS ) n2n3nnn n n n2n n 2n2n n 2 2n 2 n2n3n S = a (1q ) 1 n 1 n q =Sn(1qnq2n) 解法二解法二 利用等比数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列 (6048)2=48(S3n60) S3n=63 解法三解法三 取特殊值法 取 n=1，则 S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2=
13、12 an为等比数列 S3n=S3=a1a2a3=63 11已知数列an中，Sn是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an2(nN*)，a1=1 (1)设 bn=an+12an(nN*)，求证：数列bn是等比数列； 解解 (1) Sn+1=4an2 Sn+2=4an+12 S= a (1) a (1)(1+) 1q 2n 1 1 q q qq Sq n nn n n 2 1 1 () q = 1 4 S= a (1q ) 1q n 3n 1 3n aqqq q nnn 1 2 11 1 ()() S= 48(1+ 1 16) = 63 3n 1 4 q = a a a = 3 2 1 3 1
14、4 (2)c = a 2 (nN*)c n n nn 设，求证：数列是等差数列 两式相减，得 Sn+2Sn+1=4an+1=4an(nN*) 即：an+2=4an+14an 变形，得 an+22an+1=2(an+12an) bn=an+12an(nN*) bn+1=2bn 由此可知，数列bn是公比为 2 的等比数列 由 S2=a1a2=4a12，a1=1 可得 a2=5，b1=a22a1=3 bn=32n-1 将 bn=32n-1代入，得 说明说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化 为等差数列或等比数列来解决 (2) c = a 2 (nN*) c = b 2 n n n n+1 n n+1 c aaaa n n n n n nn n 1 1 1 1 22 2 2 cc = 3 4 (nN*) n+1n 由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项 ，故 即： c d = 3 4 c = a 2 c =(n1) C = 3 4 n1 1 n n 1 2 1 2 3 4 1 4 n
