数列求和7种方法(方法全_例子多).doc

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1、一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式:3、 4、5、例1 已知,求的前n项和.解:由 由等比数列求和公式得 (利用常用公式) 1 例2 设Sn1+2+3+n,nN*,求的最大值. 解:由等差数列求和公式得 , (利用常用公式) 当 ,即n8时,题1.等比数列的前项和S2,则 题2若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn,则a= ,b= ,c= . 解: 原式= 答案:二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中 an 、

2、bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和:解:由题可知,的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. (设制错位)得 (错位相减)再利用等比数列的求和公式得: 例4 求数列前n项的和.解:由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 (设制错位)得 (错位相减) 练习题1 已知 ,求数列an的前n项和Sn.答案:练习题2 的前n项和为_答案:三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.例5 求证:证明: 设. 把式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 . +得 (反序相加) 例6 求的

3、值解:设. 将式右边反序得 . (反序) 又因为 +得 (反序相加)89 S44.5题1 已知函数(1)证明:;(2)求的值.解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,两式相加得: 所以.练习、求值:四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例7 求数列的前n项和:,解:设将其每一项拆开再重新组合得 (分组)当a1时, (分组求和)当时,例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解:设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn (分组)

4、(分组求和) 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:(1) (2)(3) (4)(5)(6) (7)(8)例9 求数列的前n项和.解:设 (裂项)则 (裂项求和) 例10 在数列an中,又,求数列bn的前n项的和.解: (裂项) 数列bn的前n项和 (裂项求和) 例11 求证:解:设 (裂项) (裂项求和) 原等式成立 练习题1. 答案:.练习题2。 =答案:六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列

5、的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解:设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 (找特殊性质项)Sn (cos1+ cos179)+( cos2+ cos178)+ (cos3+ cos177)+(cos89+ cos91)+ cos90 (合并求和) 0例13 数列an:,求S2002.解:设S2002由可得 (找特殊性质项)S2002 (合并求和) 5例14 在各项均为正数的等比数列中,若的值.解:设由等比数列的性质 (找特殊性质项)和对数的运算性质 得 (合并求

6、和) 10练习、求和:练习题1 设,则_ 答案:2.练习题2 若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17+S3350等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2 解:对前n项和要分奇偶分别解决,即: Sn= 答案:A练习题 3 1002-992+982-972+22-12的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解:并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案:B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.例15 求之和.解:由于 (找通项及特征) (分组求和)例16 已知数列an:的值.解: (找通项及特征) (设制分组) (裂项) (分组、裂项求和) 提高练习:1已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;设数列,求证:数列是等差数列;2设二次方程x-+1x+1=0(nN)有两根和,且满足6-2+6=3(1)试用表示a;3数列中,且满足 求数列的通项公式;设,求;说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。

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