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1、固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 1.4 倒格子倒格子 由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数：)()( 332211 alalalxVxV ? += 如图 XCH_001_024 所示，A 和 A两点势能相同。 势能函数是以 321 ,aaa ? 为周期的三维周期函数 引入倒格子， 可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。 1. 倒格子的定义 倒格子的定义 根据基矢定义三个新的矢量： 321 21 3 2 aaa aa b ? ? ? =; 321 13 2 2 aaa aa b ? ? ? =； 321 32 1 2 aaa aa b ? ? ? =倒格子基
2、矢量 以 321 ,bbb ? 为基矢，可以构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置： 332211 321 bnbnbnG nnn ? += 倒格子矢量，或倒格矢。 容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足： 2( 2 0( ijij ij a b ij ) ) = = = ? ? ， 3, 2, 1,=ji ? 倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。 ? 关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义 时间周期函数 )()(nTtftf+= 令 Tt=，10: 可以将)()(nTTftf+=看作是以为宗量、周期为 1 的周期函数。 将)(f展开为傅里叶级数： 2() ( ) i
3、m m m fF e = m 为整数 傅里叶系数： )( )(2 1 0 fedF mi m = REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 由 T 2 =和Tt=得到： 2 t = 将 2 t =代入 = m mi me Ff )(2 )( ( ) im t m m f tF e = 傅里叶系数： 0 1 ( ) T im t m Fdtef T = t m为的傅里叶展开中的各种频率 )(tf 时间正格子：基矢：T，正格矢：nT 频率倒格子：基矢：，倒格矢：m 满足：2=T ? 具有晶格周期性函数
4、傅里叶级数的展开 晶格原胞中任一点： 332211 aaax ? += 其中 321 ,为宗量 将)()( 332211 alalalxVxV ? +=可以看作是以 321 ,为宗量，周期为 1 的周期函数 傅里叶级数： 其中：为整数。 + = 321 332211 321 , )(2 ,321 ),( hhh hhhi hhh eVV 321 ,hhh 系数 ),( 321 )(2 3 1 0 2 1 0 1 1 0 , 332211 321 VedddV hhhi hhh + = 由 321 21 3 2 aaa aa b ? ? ? =; 321 13 2 2 aaa aa b ? ?
5、? =； 321 32 1 2 aaa aa b ? ? ? =和 332211 aaax ? += 得到：xb ? ? = 11 2 1 ，xb ? ? = 22 2 1 ，xb ? ? = 33 2 1 代入 + = 321 332211 321 , )(2 ,321 ),( hhh hhhi hhh eVV 得到： + = 321 332211 321 , )( , )( hhh xbhbhbhi hhh eVxV ? ? ? ， 1 2 3 123 123 , , ( ) h h h iGx h hh h hh V xVe = ? ? ? 系数 1 12 23 31 2 3 123 (
6、) , 123123 11 ( )( ) h h h iGx i h bh bh bx hhh VdxeV xdxe aaaaaa + = V x ? ? ? ? ? ? 积分在一个原胞中进行 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 2. 倒格子与正格子间的关系倒格子与正格子间的关系 ? 倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积 )()()( )2( )(* 211332 3 3 321 aaaaaabbb ? ? = CBABCACBA ? )()(= 31 1 2 Aaa Ba Ca ? ? ?
7、? ? ? 1211312132113 )()()()(aaaaaaaaaaaaa ? = = = 3 132 2 3 )2( )( )2( * aaa ? ? 正格子中一簇晶面和正交 )( 321 hhh 321 hhh G ? 因为， ijji ba2= ? ? 332211 321 bhbhbhG hhh ? += 如图 XCH_001_047 所示。 3 3 2 2 3 3 1 1 , h a h a CB h a h a CA ? = 很容易证明：0, 0 321321 =CBGCAG hhhhhh ? 即与晶面簇正交。 321 hhh G ? )( 321 hhh ? 为晶面的法线
8、方向，晶面方程可以表 示为： 321 hhh G ? )( 321 hhh nxbhbhbh2)( 332211 =+ ? ? n 取不同值代表一个一簇晶面系中，不同的晶面。如图 XCH_001_050 所示。 各晶面到原点的垂直距离： 332211 2 bhbhbh n dn? + = ，面间距： 1 2 3 1 12 23 3 22 h h h d hbh bh bG = + ? REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆_第一章 固体结构_20050406 3. 倒格子与晶格的几何关系倒格子与晶格的几何关系 如图 XCH_001
9、_048 所示。原点O引晶面簇ABC的法线 ON，在法线上截取一段=OP，使 2=d；d是晶面簇ABC的面间距。对于每一簇晶面都有一点P，以OP为该方向的周期，把P 平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。 倒格子基矢和正格子基矢间的关系： 令正格子的基矢为 321 ,aaa ? ; 正格子的坐标面 133221 ,aaaaaa ? 各有其对应的晶面簇，设面簇 133221 ,aaaaaa ? 的面间距分别为d。作面，在OP 上截取一段OP，使 321 ,dd 21a aOP ? = 3 b 3 3 2 d b =。同样，对于 32a a ? 面，得出 1 1 2 d b；对于 13a a ? 面得出 2 2 2 d b = =。 这样得出的三个矢量 321 ,bbb ? 就取为例格子的基矢。如图 XCH_001_049 所示。 正格子原胞的体积 223213 )sin(aadaad ? = 倒格子基矢： = 21 3 3 22aa d b; = 13 2 2 22aa d b ? ? ； = 32 1 1 22aa d b ? ? ? ? 晶格的一簇晶面转化为倒格子中的一点，这在处理晶格的问题上有很大的意义 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH
