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1、排列、组合、二项式定理排列组合应用问题 目标1掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力2通过对典型错误的剖析，学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误培养思维的深刻性与批判性品质重点与难点有条件限制的排列组合应用问题排列数公式：组合数公式（一）有条件限制的排列问题例15个不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？（3）a，e排在一起有多少种排法？（4）a，e不相邻有多少种排法？（5）a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？（教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，畅所欲言，鼓
2、励提出不同解法，包括错误的解法）师：请同学回答（1）并说出解题思路师：很好！问题（1）是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置的问题处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先考虑师：请同学回答（2），并说出解题思路师：在上面解题过程中，很好的运用了有条件限制的位置优先的原则，这种解法是直接法还有其他方法吗？分别在排头、排尾的4种情况大家讨论研究这时学生的思维活跃起来生丙：前一种解法对，后一种解法排列数少了师：遗漏在什么地方呢？减去a排头，即a；减去a排尾，即a；减去e排头，即 e；减去e排尾，即e具体一排可以看出，在这四种情况中，a排头e排尾，e排头a排尾各多减了一次学生明白了思维上的错
3、误，教师提出能否把上面错误的解法改造成正确的解法呢？由分析思维上的错误得到正确的认识，学生十分高兴但认识并没有完结师：由上面的分析对我们有什么启发？生丁：在解题过程中具体排一排使我们想的更清楚师：好！“具体排”是一个好方法这是抽象转化为具体的一种思维方法师：请同学回答问题（3），并说出解题思路解题思路是：a，e排在一起，可将a，e看成一个整体，作为1师：好！排在一起的元素用“粘合法”看作一个元素师：请同学回答问题（4），并说出解题思路解题思路是：用5个元素的全排列数减去a，e排在一起的，就是a，e不相邻的师：这是间接法，还有其他方法吗？e不相邻，可将a，e排在上述3个元素排定后形成的4个空档中
4、，排法师：这是一个很好的设计“插空档”的方法对解决排列问题中某几个元素不相邻的问题有普遍性这也是解决这类问题的通法，对多个元素不相邻的问题，第一种解法（间接法）容易产生“重复”或“遗漏”师：请同学回答问题（5），并说出解题思路师：为什么要除以2生：要求a在e的左边（可不相邻）即a，e有序，而a，e间的排列数有2种，所以要除以2师：问题变换为3个元素按一定顺序呢？教师小结：排列应用题是实际问题的一种，解应用问题的指导思想，弄清题意、联系实际、合理设计调动相关的知识和方法是合理设计的基础例1是排列的典型问题，解题方法可借鉴排列问题思考起来比较抽象，“具体排”是一种把抽象转化具体的好方法例2 同室4
5、人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法解法1：列举法（具体排、填方格）设4人为A，B，C，D，他们自己所写的贺卡分别为a，b，c，d，满足条件的分配方式列举如下：因此，共有33=9种不同的分配方式，故选B解法2：直接法分两步完成，第一步让A先拿，他可拿b，c，d中的任意一张，有3种方法；假定A拿b，第二步就让B拿，他可拿a，c，d中任意1张，也有3种方法一旦B拿定了，假定B拿a，那么C，D两人的拿法也就随之确定了，只能C拿d且D拿c这1种方法根据乘
6、法原理，共有33=9种不同的分配方式，故选B解法3：间接法先不考虑限制条件，即也允许拿自己送的贺年卡，不同的分配方式4人都拿自己送出的贺卡的分配方式只有1种；所以，4个人都不拿自己送出的贺卡的分配方式共有教师小结：在巡视过程中，我观察许多同学解排列组合应用题的思考虑到本题给的数字小，“具体排”问题不难解决（二）有条限制的组合问题例3 已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数通过分析讨论学生有以下解法解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集分为三类：类：师：很好！这两种解法都是正确的，直接法、间接法是两类很重
7、要的思考方法和解题方法生甲：我还有一种解法，现在看来是错误的，但不知错在哪？师：这更需要我们一起研究请说说你的列式和解题思路解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选3个数，组成含有5个元素的集合且满足至少有2师：错在哪？指出做题中的错误比做对一道题更有价值的一种选法，组成集合2，4，6，1，3我们再看另一种3，这是同一个集合，但在记数中却记了2次，这就重复了师：分析的很好！看来“具体排”的方法很有用重复的原因是分类不独立在使用加法原理时分类一定要遵循下列原则：设全集为I，把I分为A1，A2，An，n个子集，满足以下两条：A1，A2，A3，An任何两个的交集为
8、空集；A1A2A3An=I（三）排列组合混合问题例4 从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作，一共有多少种分配方案师：如何设计，请说出你的解法问题在哪？师：这是一个排列组合混合问题，解题的关键是要合理分步一般题不过还可以挽救另解：把工作当元素，同学看作位子，第一步，从5种工作中任选3也可先给女同学分配工作，再给男同学分配工作，分配方案有：小结 排列组合混合问题，解题思路是：在分步时通常先组合后排列例5 方程x1+x2+x3+x4=7的正整数解的个数是_师：这个方程问题和排列组合有什么关系呢？求方程正整数解的个数，等式左边会有4个未知数且次数是1
9、次，右边是7（数字较小），问题可转化成把7分成4个正整数（允许取相同数字），x1，x2，x3，x4分别取这4个数字，请同学考虑如何列式生甲：将7拆成下面3组：分别将每组的4个数排在x1，x2，x3，x4这4个位置上，每个位师：这是用分类的方法处理问题，很好！还有其他的解法吗？解题思路是：将7分成7个1（1是最小的正整数单位），于是问题转化为将它们分成4组，这可以看成用3条竖线插7个1中间的6个用下图表示它的一种分割方法师：这是一道比较新颖的题目，解题中用到的都是基本知识和基本方法，但要通过分析、构想、设计，调动基本知识和基本方法解题第一种解法要有分类讨论处理问题的意识，第二种解法是转化成熟悉的
10、插空档问题（四）小结解排列组合应用问题，首先要抓典型问题如例1是排列常见的典型问题，例3是组合问题，例4是排列组合混合问题通过典型问题掌握基本方法，这是解排列组合应用问题首先要做到的排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一“具体排”可以帮助思考，可以找出重复、遗漏的原因有同学总结解排列组合应用题的方法是：“想透、排够不重不漏，”是很有道理的解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体、直接法与间接法、全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用（五）作业1设有4个不同的红球，6个不同的
11、白球，每次取出4个球，取1个红球记2分，取1个白球记1分，使得总分不大于5分的取球方法数为 2由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有 A60个B48个C36个C24个3用0，1，2，3，4 排成无重复数字的五位数，要求奇数字相邻、偶数字也相邻，这样的五位数的个数是 A20B24C32D364从1，3，5，7，9中任取三个数字，从0，2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数共有 A11040个B12 000个C8 160个D14 000个5设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，
12、要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样投放的方法总数为 A20B30C60D12063个人坐在一排9个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法有_种7将5名学生分配到4个不同的科技小组、每组至少1人的分配方案有_种8从1，2，5，7，8，9中取四个不同的数，排成四位数，在这些四位数中从小到大排列，则1987年第_个作业答案或提示说明发挥典型题的作用，发展学生思维、排列组合应用问题是教学的重点也是难点，更是发展学生思维的好素材如何抓住重点突破难点，首先要发挥典型问题的作用，因此，例1、例3、例4都是典型题，通过典型题掌握基础知识、基本方法但仅仅这样是不够的，“数学教学是数学思维活动的教学”只有发展思维，分析问题解决问题的能力才能提高，基础知识、基本方法才能在解决数学问题中用得上，用得好
