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1、第三节 Newton插值多项式,Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li (x) 都需重新计算。 n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。,称 为函数 关于点 的一阶差商.,称 为函数 关于点 的二阶差商.,一. 差商的定义及其性质,定义2.1:已知函数f(x)在n+1个互异节点xj( j=0,1,n)上 的函数值分别为f(xj)( j=0,1, n),一般地，称,n 阶差商的概念,为函数f(x) 关于点 的 n 阶差商,规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.,差商的基本性质,性质1：差商可表示为函数值的线性组合，即： 性质2：差商关于所含节点是对称的
2、，即：,可用归纳法证明,差商的基本性质,性质3：设 在 存在 n 阶导数，且 则 ，使得:,例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f 20, 21, 27 及 f 20, 21, 27, 28 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性质 解: 由差商与导数之间的关系,差商的计算-差商表,Newton公式,Newton优点,已知,计算三阶差商,解：列表计算,例,根据差商的定义，把 x 看成a,b上的一点，可得：,其中 显然 满足插值条件，且次数不超过 ,它就 是插值多项式，其系数为： 我们称 为牛顿插值多项式.,差商表,1) 和 均是 n 次多项式,且均满足插值条件
3、: 由插值多项式的唯一性, ,因而,两个公式 的余项是相等的,即,说明:,2) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，,只要再增加一项就行了，即有递推式:,差商表,一次Newton插值多项式 N1(x)= f(x0)+fx0,x1(x-x0) 二次Newton插值多项式 N2(x)= f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1),N1(x),例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数值为6，作四次Newton插值多项式.,解 首先构造差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 三次Newton插值多项式为,增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120 四次Newton插值多项为,
