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1、科学出版社 ,第三章,导数与微分,科学出版社 ,第三章 导数与微分,科学出版社 ,导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。,重点,导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导,难点,导数的实质，用定义求导，链式法则,科学出版社 ,基本要求,准确叙述导数定义并深刻理解它的实质,会用定义求导数,熟记求导基本公式,牢固掌握链式法则,掌握隐函数和参量函数求导法,理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法,弄清微分与导数
2、的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性,科学出版社 ,3.1 导数的概念,科学出版社 ,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,导数概念的引入,科学出版社 ,割线的极限位置切线位置,播放,2.切线问题,科学出版社 ,曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,科学出版社 ,瞬时速度,切线斜率,科学出版社 ,两个问题的共性:,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度
3、,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,科学出版社 ,导 数 概 念,定义3.1 设函数,在,的邻域,内有定义，,当,时,有函数增量,如果,存在，则称函数,在,可导,在,处的导数,记作,函数,科学出版社 ,注: 1）若,处的导数为,在,也说函数,的变化快慢程度。,3）导数定义的几种等价形式。,无穷大。,(式中h的只要是无穷小即可),科学出版社 ,科学出版社 ,注意:,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,播放,科学出版社 ,存在，求,已知,解,例1,解 原式=,科学出版社 ,原
4、式,是否可按下述方法作:,例3. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,例4. 设,存在, 求极限,解: 原式,科学出版社 ,求,在,已知,例5,连续，且,解,科学出版社 ,单 侧 导 数,1.左导数:,2.右导数:,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,由定义求导数（三步法）,步骤:,解:,即,科学出版社 ,例7 求函数,解:,说明：,对一般幂函数,( 为常数),（以后将证明）,科学出版社 ,例如，,科学出版社 ,例8 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,科学出版社 ,例9,解,科学出版社 ,例10 求函数,的导数.,解:,即,或,科学出版社 ,例11,解,科学出版
5、社 ,导数的几何意义与物理意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,科学出版社 ,切线方程:,法线方程:,切线方程:,法线方程:,科学出版社 ,例12,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,科学出版社 ,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,科学出版社 ,可导与连续的关系,证,定理3.2 若函数,在点,处可导，则必在点,处连续。,科学出
6、版社 ,注意: 该定理的逆定理不成立.,连续函数不存在导数举例,例如,科学出版社 ,例如,科学出版社 ,例如,科学出版社 ,科学出版社 ,例13,解,科学出版社 ,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,科学出版社 ,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,5. 已学求导公式 :,科学出版社 ,科学出版社 ,解 答,科学出版社 ,练习 提高,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,科学出版社 ,2.
7、 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,科学出版社 ,5. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,科学出版社 ,课本：P84-85 练习理解： 57，10 思考提高： 4,作 业,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,科学出版社 ,
