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1、函数与导数2015年高考数学压轴题真题训练7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围【解析】()若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）由()知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是【考点定位】导数的综合应用8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是
2、a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而或又，所以当时，或当时，设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立，从而，且，因此此时，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得综上【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点11.【2015高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围.（2）当 时， 当时， ， 所以，函数在上单调递增无极值；当 时， 设方程
3、的两根为 因为 所以， 由可得：所以，当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；因此函数有两个极值点（3）当 时，由可得：当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；因此函数有一个极值点综上：当 时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（II）由（I）知，（1）当时，函数在上单调递增，因为所以，时， ，符合题意； （2）当 时，由 ，得 所以，函数在上单调递增，又，所以，时， ，符合题意；（3）当 时，由 ，可得所以 时，函数 单调递减；又所以，当时， 不符合题意；（4）当时，设 因为时， 当 时，此时， 不合题意.综上所
4、述，的取值范围是 【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.12.【2015高考安徽，理21】设函数. （）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （）记，求函数在上的最大值D； （）在（）中，取，求满足时的最大值.【解析】（），. ，. 因为，所以. 当时，函数单调递增，无极值. 当时，函数单调递减，无极值. 当，在内存在唯一的，使得. 时，函数单调递减；时，函数单调递增. 因此，时，函数在处有极小值. （）时， 当时，取，等号成立， 当时，取，等号成立， 由此可知，函数在上的最大值为. （），即，此时，从而. 取，则，并且. 由此可知，满足条件的最大值
5、为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证： (2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.(II)证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，当时，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都
6、有.(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由(II)知可得.类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，即对任意，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.由此可得.因为，所以，故，所以.【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.14.【2015高考重庆，理20】 设函数 （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程； （2）若在上为减函数，求的取值范围。当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.【考点定位】复合函数的导数，函
7、数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力15.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； （2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【解析】（1）由已知，函数的定义域为，所以.当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）由，解得.令.则，.故存在，使得.令，.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.17.【2015高
8、考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点. ()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.若0，即0，在（0,1）无零点.若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）
9、有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想18.【2015高考北京，理18】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值，成立；（）使成立，等价于，；，当时，函数在（0，1）上位增函数，符合题意；当时，令，-0+极小值，显然不成立，综上所述可知：的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.19.【2015高考广东，理19】设，函数 (1)
10、求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点； (3) 若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：【解析】（1）依题， 在上是单调增函数；（2） ， 且， 在上有零点，又由（1）知在上是单调增函数，在上仅有一个零点；（3）由（1）知令得，又，即， ，又，【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识【2015高考湖南，理21】.已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立.（1）其中，令，由得，即，对，若，即，则，若，即，则，因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，此时，易知，而 是非零常数，故数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，于是对一切，|恒成立，即恒成立，等价于（）恒成立（），设，则，令，得，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增，从而当时，函数取得最小值，因此，要是（）式恒成立，只需，即只需，而当时，且，于是，且当时，因此对一切，故（）式亦恒成立.综上所述，若，则对一切，恒成立.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.
