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1、,苏教版 选修4-2 高二数学 2.4.1逆矩阵的概念,2020年9月6日星期日,让学引思,2020/9/6,江苏省滨海中学 徐 义,由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几 何变换，它把点（x ，y）变换到点（x，y）.反过来:若知道变换后的结果（x，y）,能否“找到回家的路”,再让它变回到原来的（x ，y）呢？ 如图示：,（x ，y）,（x，y）,走过去,走回来,创设情境 建构概念,问：“找到回家的路”的本质是什么？,已知矩阵 ，我们能否找到一个矩阵 ，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同。,变回自己,引例：对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次
2、变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同：,（1）以x轴为反射轴的反射变换； （2）绕原点逆时针旋转600的旋转变换； （3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标伸长为原来的 2倍的伸压变换； （4）沿y轴方向，向x轴的投影变换； （5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 （x , y）（x+2y , y）的切变变换；,创设情境 建构概念,解：（1）对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A；,解：（3）对于伸压变换TA，存在伸压变换TB，即B为使平面的保持横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵；,分析情境 形成概念,（1）以x轴为反射轴的反射变换；,（2）绕
3、原点逆时针旋转600的旋转变换；,（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标伸长为原来的2倍的伸压变换；,解：（2）对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺时针旋转 的变换矩阵；,分析情境 形成概念,解：（4）对于投影变换TA，不存在满足条件的变换矩阵B。 原因：投影变换不是一一映射；,（4）沿y轴方向，向x轴的投影变换； （5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且（x , y）（x+2y , y）的切变变换；,（5）对于切变变换 ，存在切变变换 ，即B为使平面的保持纵坐标不变,横坐标依纵坐标的比例减少,且（x , y）（x-2y , y）的变换矩阵；,由引例,我们可以得到：有的矩阵
4、能“找到回家的路”，（变回为自己）称它为原变换的逆变换，而逆变换也对应着一个矩阵,但并非所有的二阶矩阵A，都存在二阶矩阵B，使得AB=BA=E.,那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？,分析情境 形成概念,一、概念的引入,你能通过类比的方法给逆矩阵下个定义吗？,分析情境 形成概念,二. 逆矩阵定义,分析情境 形成概念,如何证明？,思考：(1)如果 矩阵可逆，那么逆矩阵唯一吗？,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,证明：,应用概念 探究性质,(2)如果 矩阵可逆，那么 结果是什么？,思考：(3)定义中只有 矩阵 是否可逆？,此时 的结果是多少？,三. 逆矩阵性质
5、,(2),现在要解决的问题：,1. 二阶矩阵满足什么条件时可逆?,2. 可逆时，逆矩阵怎样求？,应用概念 探究性质,（3）如果 亦有 矩阵 互为逆矩阵.,应用概念 探究方法,应用概念 探究方法,说明：,现在已解决的问题：,1. 二阶矩阵满足什么条件时可逆?,2. 可逆时，逆矩阵怎样求？,几何变换的观点：对应的几何变换存在逆变换,映射的观点：变换对应的映射是一一映射,几何变换法：逆矩阵即为逆变换对应的矩阵,目前只能利用定义，用待定系数法解决！,显然用待定系数法求逆矩阵时，计算量较大，过 程繁琐。那么对于一个二阶矩阵有没有求逆矩阵 的公式呢？,思考：公式法求二阶矩阵的逆矩阵的前提是什么？,应用概念 探究方法,练习1,练习2,练一练,应用概念 探究方法,现在能解决的问题：,1. 二阶矩阵 满足什么条件时可逆?,2. 可逆时，逆矩阵怎样求？,几何变换的观点：对应的几何变换存在逆变换,映射的观点：变换对应的映射是一一映射,几何变换法：逆矩阵即为逆变换对应的矩阵,待定系数法,公式法,判别式法（行列式法）：“判别式”,回顾反思 拓展延伸,1.课堂小结,回顾反思 拓展延伸,面对挑战，敢于超越！,课本P65练习1，2,课本P65练习2，7,感谢指导！,祝您身体健康，工作顺利！,
