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1、实验二,购房贷款的利率,非线性方程和迭代,一、引例 ：购房贷款的利率,不难算出，你向银行总共借了25.2万，30年内共要还51.696万，约为当初借款的两倍。这个案例中贷款年利率是多少呢？,下面是新民晚报2000年3月30日第七版上的一则房产广告：,解 设xk为第k个月的欠款数， a为月还款数, r为月利率。,xk+1 = (1+r) xk- a,那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 xk-2 (1+r)a a = = (1+r)k x0 a1+(1+r)+(1+r)k-1 = (1+r)k x0 a(1+r)k-1/r,根据 a=0.1436, x0=25.2, x3
2、60=0 得到 25.2(1+r)360 0.1436(1+r)360-1/r=0,二、数学理论复习：非线性方程（组）,一元非线性方程的一般形式为 f (x) = 0,若对于数有f () = 0, 则称为方程的解或根，也称为函数f (x)的零点,若对于数有f () = 0, f ()0则称为单根若有k 1, f () = f () = = f (k-1)() = 0 但f (k)()0 , 称为k重根,非线性方程（组）求解通常用数值方法求近似解，常见的有二分法、牛顿法等,1 图解法 适用于求一元或二元方程(组)低精度解或找迭代初值,例1 解方程 sin(x) = 0.1x,解 -1 sinx
3、1, 得| x |10, 作出sin(x), 0.1x 在-10,10范围内的图, 可看出根的大致位置 fplot(sin,-10,10);hold on; fplot(0.1*x,-10,10) ；grid; zoom,三、数值解法：图解法和迭代法,2 迭代法,迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开始，利用某种迭代格式x k+1 = g (x k )，求得一近似值序列x1, x2, , xk, xk+1, 逐步逼近于所求的解(称为不动点)。最常用的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式为,例2 求方程 x 2 - 3 x + e x = 2 的正根 (要求精度 = 10 -6),解 令f (x)
4、 = x 2 - 3 x + e x - 2, f(0)=-1,当x 2, f (x) 0, f (x) 0即f (x)单调上升，所以根在0,2内。 先用图解法找初值， fplot(x2-3*x+exp(x)-2,0,2) ,grid 取x0 = 1, 迭代格式,四、使用MATLAB,1 多项式的根 roots(p)可求得多项式p的所有复根,MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。 例如 求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 用MATLAB命令 roots(1 2 0 -5),2 一元函数零点 fzero (F,X,tol),返回函数F的一个零点,其中F为字符串表示的函数或M函数名
5、。X为标量时,为迭代初值； X为向量a,b时, 返回函数F在a,b中的一个零点,要求F在a,b异号。tol为可变精度(缺省值1e-4)。,例1可求解如下 fzero(sin(x)-0.1*x,6) fzero(sin(x)-0.1*x,2,6),3 非线性方程组求解,fsolve可求非线性方程或多元非线性方程组的实根， 用法与fzero类似。,例3 解方程组,解法一：本题可通过作二元函数图求解 解法二：先写一个M函数eg2_2fun.m， 然后用 x=fsolve(eg2_2fun,0,0) 求解,解法三：直接求解 x=fsolve(4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1, -x(
6、1) +4*x(2)+x(1).2/8,0,0),4 解析求解solve solve是符号数学工具箱中的解方程组命令。可求各种类型方程组的解析解。当找不到解析解时，solve会自动寻求一个近似解，并且精度很高,solve(a*x2+b*x+c, x) 可得二次多项式求根公式,solve(x2-3*x+exp(x)-2,x) 可解例2 x,y=solve(4*x-y+exp(x)/10=1, -x+4*y+x2/8=0, x,y) 可解例3,五、实验例题,例4 (引例) 常识上，r应比当时活期存款月利率略高一些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为迭代初值，用fzero求解,r=fzer
7、o(25.2*(1+x)360-(1+x)360-1)/. x*0.1436,0.0198/12); R=12*r 得年利率为5.53%,例5（栓牛鼻的绳子）农夫有一个长满草的半径10米的圆形牛栏，他要将一头牛栓在栏桩上，但只让牛吃到一半草，问栓牛鼻的绳子应为多长？,B,D,A,C,O,R,解 设A为栓桩,绳AB长R 半径OA=OB= r, =角OBA, 那么R=2rcos 扇形BAC面积 S1=2 R2/(2 ) = R2 ,冠形ADB面积 S2=( - 2 ) r2/(2 ) Rr(sin )/2 =( /2- )r2 Rr(sin )/2 那么 R2 + ( -2 ) r2 Rr(sin
8、 )= r2/2 即 sin(2 ) - 2 cos(2 ) = /2 经MATLAB计算 得R=11.5861,补充知识：认识混沌,线性迭代要么收敛于它的不动点，要么趋于无穷大。 不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋于一个周期解，但也有可能在一个有限区域内杂乱无章地游荡，这类由确定性运动导致的貌似随机的现象称为混沌现象,1、昆虫数量的Logistic模型 xk+1 = a x k (1 - x k), 0a4 xk表示第k代昆虫数量（1表示理想资源环境最大可能昆虫数量）。 a为资源系数，0a4保证了xk在区间(0,1)上封闭。,2、平衡与稳定 若g () = ，称为映射g(x)的平衡
9、解或不动点, 若对于不动点附近的初始值x0，迭代收敛于此不动点，称此不动点是稳定的,当0a1, 不动点0不再稳定; 当1a3，由|g (1-1/a)| =|2-a|1可知 不动点1 - a -1稳定，说明资源适当时，昆虫稳定于一定数量。,对于Logistic模型 解得有两个不动点0和1-1/a,3、周期解、分叉和混沌 若g k() = , 对任意jk, g j ()不等于（这里 g j 表示g的j次复合），称为映射g(x)的周期k点，并称，g ()，g k-1()为周期k轨道。,4、混沌的特征 (i)初值敏感性: 两个任意近的点出发的两条轨迹迟早会分得很开; (ii)遍历性: 任意点出发的轨迹总会进入0,1内任意小的开区间。,例（蛛网图）我们用蛛网图来显示混沌的遍历性。 yk = a x k (1 - x k), xk+1 = yk 蛛网图正好显示迭代计算x0, y0, x1, y1,的一系列变化过程。,
