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1、重庆市南开中学2020届高三数学上学期第四次教学质量检测试题 文（含解析）（总分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的娃名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
2、】【分析】先化抛物线标准形式，再直接写出焦点坐标.【详解】,因此焦点坐标为，故选：D【点睛】本题考查抛物线标准方程以及焦点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知向量，满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定直接得结果.【详解】因为的否定为，所以为，故选：D【点睛】本题考查全称命题否定，考查基本分析求解能力，属基础题.4.已知双曲线的
3、一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据渐近线方程得关系，即得离心率.【详解】因为渐近线方程为，所以.故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.5.“”是“方程表示双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查双曲线标准方程形式以及充要关系判断，考查
4、基本分析求解能力，属基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图还原原几何体，是一个长方体上方有一个半球再根据体公式计算【详解】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的，尺寸见三视图，故选：D.【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积（柱体和球的体积），解题关键是由三视图还原出原几何体7.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题【答案】D【解
5、析】【分析】根据四种命题关系以及复合命题真假逐一判断选择.【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”,所以A错；“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，所以B错；命题“若，则”为真命题，所以其的逆否命题为真命题，C错；若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题，所以D对；故选：D点睛】本题考查四种命题关系以及复合命题真假，考查基本分析求解能力，属基础题.8.直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理求出直线斜率，再求倾斜角得选项.【详解】因为，因此直线的倾斜角为或，故选：C【点睛】本题考查垂径定理以及斜率与倾斜角关系，考
6、查基本分析求解能力，属基础题.9.长方体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.10.已知四棱锥中，平面平面，其中为边长为4正方形，为等腰三角形，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作出外接球球心，再列方程解得球半径，最后代入球表面积公式得结果.【详解】设外接球球心为，球半径为，与交点为，为中点，垂直平面，垂直于.因为为等腰三角形
7、,所以垂直,因为平面平面，所以垂直平面，即平行，则，因为，所以，由于位置可在延长线上，因此，,则四棱锥外接球的表面积为.故选：C【点睛】本题考查四棱锥外接球以及球的表面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.11.在棱长为1的正方体中，分别在棱，上，且满足，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件确定点位置，再根据向量表示确定的值，即得结果.【详解】如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.如图,则为中点，所以.所以，因此，因为，所以,.故选：C【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知，是
8、椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆定义列等量关系，再根据基本不等式求最小值.【详解】因为点为线段的中点，所以，且，因为，所以，因此，故选：B【点睛】本题考查椭圆定义以及利用基本不等式求最小值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.若直线与垂直，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据直线垂直列方程，解得结果.【详解】因为直线与垂直，所以.故答案为：【点睛】本题考查根据直线垂直求参数，考查
9、基本分析求解能力，属基础题.14.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于_【答案】【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果【详解】圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2圆锥的高，底面半径.这个圆锥的表面积：.故答案为【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.设、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下面给出四个命题：若，则；若，、则；若，则；若且，则.其中假命题有_.（写出所有假命题的序号）【答案】【解析
10、】【分析】根据线面平行与垂直关系逐一验证或举反例.【详解】若，则或，所以为假命题；若，、且相交直线时，才有，才可得；所以为假命题；若，则，所以为真命题；若且，则不一定平行，所以不一定成立，即为假命题.故答案为：【点睛】本题考查线面平行与垂直关系的判定，考查综合分析求解能力，属中档题.16.已知抛物线与双曲线有一个公共的焦点，点为抛物线上任意一点，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先求双曲线焦点，再求抛物线方程，利用坐标表示，最后根据基本不等式求最值.【详解】，因此双曲线焦点为.因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点，所以，.设，则，当时，当且仅当时取等号；当时，.故答案为：【点睛】本题考查双
11、曲线焦点、抛物线方程以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，四棱锥底面为矩形，其中分别为，中点.（1）求证：平面；（2）若平面底面，求证：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形中位线性质以及矩形性质得，再根据线面平行判定定理得结果；（2）根据面面垂直性质定理得平面，即得，再结合条件利用线面垂直判定定理得结果.【详解】证明：（1），分别是，的中点，.又底面为矩形，.又平面，平面，平面.（2）底面为矩形，.又平面底面，且平面底面，且平面，平面.又平面，
12、.又，平面,，平面.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，考查以及综合分析论证能力，属中档题.18.已知椭圆的左右焦点分别为，对于椭圆上任一点，若的取值范围是，（1）求椭圆的方程；（2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求最值，结合条件得，利用关系得，即得结果；（2）先联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得，再根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）的取值范围为，即，.，又，椭圆方程为：.（2）由题意知直线的方程为：.联立方程消去得.，设，.，点到直线的距离
13、为：，.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆中三角形面积，考查综合分析求解能力，属中档题.19.在三棱柱中，平面，点、分别在棱、上，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证平面,只需证垂直于该面中的两条相交直线即可,通过三角形的相似，和线面垂直可证得，从而可证得线面垂直； (2) 要求出直线与平面所成角的正弦值，关键在于需求出点到平面的距离，运用三棱锥的等积法，可求得点到平面的距离，从而求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明:如图, 平面，平面，又，且，平面,平面,平面,又点、分别在棱、上，且，平面,又平面,，
14、在矩形中，且，平面,平面,平面，所以平面；（2）设点到在平面的距离为，则有，而由（1）得平面,，而，由（1）可得平面,点到平面的距离为的长，而，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,考查了线面角的求法,综合考查了学生的空间想象能力和思维能力,解答此题的关键是运用三棱锥的等体积法，求得点到面的距离，属于中档题.20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程：（2）过点的直线与抛物线交于，两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义求得，即得结果；（2）先根据圆的性质得，再设坐标代入化简，最后联立直线方程与抛物线方程，结合结合韦达定理代入化简求得结果.【详解】（1）由抛物线定义可得：，抛物线的方程为：
