离散时间信号分析(5.17修改)（课堂PPT）

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1、1,第2章 离散时间信号分析,2,第2章 离散时间信号分析,2.1 离散时间信号-序列 2.2 采样定理及其实现 2.3 离散时间信号的相关分析 2.4 离散时间信号的Z域分析 2.5 离散系统的描述与分析 2.6 物理可实现系统,3,2.1.1 序列、几种常用序列 2.1.2 序列的运算,2.1 离散时间信号-序列,4,一序列 1信号及其分类 (1)信号 信号是传递信息的函数，它可表示成 一 个或几个独立变量的函数。 如，f(x); f(t); f(x,y)等。 (2)连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号，幅值为连续的信号称为模拟信号，连续时间信号与模拟信号常常通用。,5,(3

2、)离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。,n,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),x(n),-2,-1,0,1,2,6,2序列 离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储器中，加之非实时处理，可以用x(n)表示x(nT)，即第n个离散时间点的值，这样x(n)就表示一序列数，即序列：x(n)。 为了方便，通常用x(n)表示序列x(n)。,7,8,序列的三种形式,9,二几种常用序列 1单位抽样序列(单位冲激),1,-2,-1,0,1,m

3、,n,10,时移性,比例性,抽样性,注意：,11,用单位抽样序列表示任意序列 任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.,12,例:,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,x(n),n,13,位移加权和,(n+3),(n-2),(n-6),14,2单位阶跃序列 u（n）,.,0,1,2,3,-1,n,u(n),15,3矩形序列,16,4单边指数序列,17,5正弦型序列 其中，0为数字频率。,18,6复指数序列,19,7序列的周期性 如果存在一个最小的正整数N， 满足x(n)=x(n+N)，则序列x(n)为周期 性序列，N为周期。 注意：周期序列的定义与模拟信号的定义不同，即周期序列的自变量

4、n和周期N只能取整数。正是这一区别，使得某些模拟周期信号，离散化以后就不一定是周期序列。,20,N称为序列的周期，为任意正整数。,21,正弦序列周期性的判别,正弦序列是周期的,22,离散点（时刻）nT上的正弦值,区别:,23,1序列相加 两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。,2.1.2 序列的运算,24,例：,25,26,27,2序列相乘 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。,28,3序列移位 当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。它是向右或向左移动了一段距离。,29,例：,30,31,4翻褶(折迭) 如果有x(n)，则x(-n)是以

5、n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。其物理意义是：若x(n)是存入计算机存储器中的数，则x(-n)表示到着取数。,32,例：,33,5尺度变换 （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。,x(2n),1,3,1/4,-1,0,1,n,34,（2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。 例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常，插值用 I倍表示，即插入（I-1）个值。,x(n),1,2,1/2,-1,0,1,n,x(n/2),1,2,1/2,-2,-1,0,1,2,n,。,。

6、,35,6序列的离散卷积,卷积和计算分四步：折迭(翻褶)， 位移，相乘，相加。,36,2.2 连续时间信号的取样,2.2.1 取样器与取样 1.取样器,P(t),T,37,38,2.实际取样与理想取样,0,t,39,实际取样：,p(t),0,t,T,p(t)为脉冲序列,40,理想取样：,t,（冲激序列）,41,2.2.2 取样定理 1预备知识 （1）冲激信号及其取样特性 定义：,t,(1),0,42,取样特性：,43,(2)频域卷积定理 若,44,(3)冲激函数序列的傅氏变换,45,1,2,46,冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。,47,2抽样信号的频谱,48,49,*可见，该频谱为周期性信号，

7、其 周期为,50,0 ,51,h为最高频率分量,52,3.取样定理 由上图可知，用一截止频率为 的 低通滤器对 滤波可以得 因此，要想抽样后能不失真的还原出 原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信 号最高频率分量。即 这就是奈 奎斯特取样定理。,53,2.2.3 频率混叠,如果信号的最高频率 超过 ，如下图所示。（1）在频域里，各次调制频谱就会发生相互重叠。一些频率的幅值与原始情况不同，于是不能分开和恢复信号的这些部分。,（2）在时域解释频率混叠现象(教材P71),54,为减少频率混叠，可采用两种方法 (1) 对于频域衰减较快的信号，可以用提高采样频率的方法来解决。但是，提高采样频率可能会导致频

8、率分辨率降低。 (2) 对于频域衰减较慢的信号，可以采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，先将信号x(t)通过一个截止频率为fm的抗混叠滤波器，将不需要的高频成分滤掉。,55,2.2.4 采样方式,实时采样: 当数字化一开始，信号波形的第一个采样点就被采入并被数字化，然后，经过一个采样间隔，再采入第二个样本，一直将整个信号波形数字化后存入波形存储器。 优点： (1)适用于任何形式的信号波形 (2)易于波形显示。 缺点：时间分辨率差。,56,等效时间采样 可以实现很高的数字化转换效率。 它要求信号波形可以重复产生。,57,2.3 离散时间信号的相关分析,2.3.1 离散时间信号的自相关函数 2.3

9、.2 离散时间信号的互相关函数,58,2.3.1 离散时间信号的自相关函数,1.定义 自相关函数 定义为 它反映了信号 和其自身作了一段延迟之后的 的相似程度。,59,能量信号 自身的能量 功率信号 的自相关函数定义为,60,周期信号 ，周期为N，则其自相关函数为,即：周期信号的自相关函数也是周期信号，且与原信号周期相同。,61,2. 性质（略，见教材）,62,2.3.2 离散时间信号的互相关函数,1.定义 设想x(n)和y(n)为两个能量有限的确定信号，则互相关函数 定义为,63,功率信号 与 的自相关函数定义为,64,周期信号 ，周期为N，则其自相关函数为,即：周期信号的自相关函数也是周期

10、信号，且与原信号周期相同。,65,2 性质（略，见教材）,66,2.4 离散时间信号的Z域分析,Z 变换的定义与收敛域 Z反变换 Z变换的基本性质和定理,67,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。,68,二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。,69,2.4.1 Z 变换的定义及

11、收敛域,一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：,*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。,70,二.收敛域 1.定义: 对于任意给定序列，能使 收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.,2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。,71,3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。,72,同样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。,73,(2).

12、有限长序列,74,75,（3） 右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,76,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|; 两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。,77,(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：,78,(5)左边序列,79,第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .,80,双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。,(6)双边序列,81,第二项为

13、左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列(因果)其收敛域为：,当Rx-Rx+时，其收敛域为,82,总结,任何z变换表达式必须同时表示收敛域； x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心的圆环； ROC内不包含任何极点（以极点为边界），但可允许零点存在；,有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；,右边序列的ROC为 的圆外；其中因果序列的 ROC必定包含在内；,左边序列的ROC为 的圆内;n20的序列的ROC 必定包含0在内；,双边序列的ROC为 的圆环。,83,其收敛域应包括 即充满整个Z平面。,例2-1 求序列的Z变换及收敛域。 解：这相当时的有限长序

14、列，,84,当时，这是无穷递缩等比级数。,例2-2 求序列的Z变换及收敛域。 解：,85,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,收敛域：,86,例2-3求序列 变换及收敛域。,同样的，当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,87,求序列 的Z变换及收敛域。,88,例：,有限长序列,收敛域为除了 0 和 的整个 平面,8个零点 7阶极点 一阶极点,89,2.4.2 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。常用的方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式法和长除法。,90,z逆变换的围线积分表示

15、,得 z 逆变换公式,用留数定理求围线积分。,91,1.留数法 由留数定理可知：,为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。,二.求Z反变换的方法,92,2、当Zr为l 阶(多重)极点时的留数：,留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：,93,例2-4 已知,解: 1）当n=-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此,，求z反变换。,94,2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:,95,2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且 k 是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。,96,通常，X(z)可表示