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1、1,第八章数学广角,知识要点梳理,1. 推理 常用的推理方法有：直接推理判断、排除法、假设法、列表法、图解法。,3,2. 植树问题 (1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形： 路的两端都要植树，那么： 株数段数1全长株距1 全长株距(株数1) 株距全长(株数1) 路的一端植树，另一端不植树，那么： 株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数,4,如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么： 株数段数1全长株距1 全长株距(株数1) 株距全长(株数1) (2)封闭线路上的植树问题的数量关系： 株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数,5,3. 鸡兔同笼问题 (1)假设全是鸡，则有：
2、兔的只数(总足数总头数2)2 鸡的只数总头数兔的只数 (2)假设全是兔，则有： 鸡的只数(总头数4总足数)2 兔的只数总头数鸡的只数,6,4. 优化 (1)烙饼问题： 一般的解决方法： 公式：烙饼总时间每次烙的时间(2烙饼总数)每次烙的饼数 如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙9张饼的时间是5(29)330(分) 特殊的解决方法： 如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每次烙的时间。,7,如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼的话，要先算出烙的次数(27)34次2面，即415次，共25分钟。 问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实质是利用好烙锅的容量空间，
3、使每次烙的效率最高。 (2)统筹安排时间问题： 原则有两个：其一，“分清先后”找出事物发生的必然先后顺序；其二，“同时进行”在做不需要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。 (3)排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等待时间最短。,8,5. 找次品 找次品的最优策略： (1)把待测物品分成3份； (2)能够平均分成3份就平均分成三份，尽量平均分，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。如9(3,3,3)；不能平均分成3份的，要使3份分得尽量平均，如7(2,2,3)。,9,6. 鸽巢问题 鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式： 形式一：把m个物体任意分放
4、进n个空抽屉里(mn，n是非0自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。 形式二：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里(k是正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k1)个物体。,10,典例精析及训练,题型一,【例1】星期六，丽丽在家做家务。整理房间要8分钟，烧开水要20分钟，洗衣服要12分钟，泡茶要1分钟，丽丽做完这些家务最少需要()分钟。,精析：本题属于优化问题，根据题干，烧开水要20分钟，烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最后泡茶1分钟。所以做完这些家务最少需要21分钟。,答案：21,11,举一反三,1. 妈妈做早饭的过程及时间如下：洗锅(1分钟)、淘米(1分钟)
5、、熬粥(20分钟)，洗菜切菜(5分钟)、炒菜(3分钟)、盛粥(1分钟)。妈妈做这顿早饭至少需要( )分钟。 2. 小明妈妈用一只平底锅煎饼，锅里只能同时放2张饼，烙熟一面需要3分钟。现在需要烙5张饼，最少需要 ( )分钟。,23,15,12,3. 小猪、小羊和乌龟要过一座独木桥。每次只允许一只动物过桥，小猪需要5分钟，乌龟需要8分钟，小羊需要3分钟。要使三只小动物等候的时间最短，应该让 ( )先过，( )再过，( )最后过。,小羊,小猪,乌龟,13,题型二,【例2】园林工人在一条长240米的公路两侧，每隔6米种一棵树(两端都要种)，一共要种多少棵树？,精析：这是非封闭线路的植树问题，两端都要种
6、，则根据棵数全长株距1可得公路一侧要种的树的棵数，因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘以2才能得出答案。,解：2406141(棵)41282(棵) 答：一共要种82棵树。,14,举一反三,4. 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？,4004100(棵) 答：一共能栽100棵白杨树。,15,5. 在铁路一旁，每隔45米有一根电线杆，某旅客在行进的火车里，从经过第1根电线杆到第51根电线杆，恰好过了3分钟，火车行进的速度是每小时多少千米？,(511)452250(米)2.25千米 3分钟 小时 2.25 45(千米/小时) 答：火车行进的速度是每小时45千
7、米。,16,题型三,【例3】9个小球，其中8个一样重，1个比其他的轻是次品，用天平称，至少称 () 次就可以找出次品。,答案：2,精析：第一步：把9个球分成3份，每份3个，任取两份放在天平上。若平衡，则取剩下的3个做第二步分析；若不平衡，则取较轻的3个做第二步分析。第二步：取3个球分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平衡，则剩下1个为次品；若不平衡，轻一个就是次品。,17,举一反三,6. 有10 瓶钙片，其中一瓶被吃了5片。用天平称，至少称( )次能保证找出被吃了5片的那瓶。 7. 有30个零件中混进一个较轻的，最少称( )次可以保证找出那个较轻的。 8. 有15盒饼干，其中的14盒质
8、量相同，另一盒少了几块。如果用天平称，至少( )次可以保证找出较轻的那一盒。,3,4,3,18,题型四,【例4】32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有()只鸽子要飞进同一个鸽舍。,答案：5,精析：把7个鸽舍看作7个抽屉，把32个鸽子看作32个元素，那么每个抽屉需要放32744(个)，所以每个抽屉需要放4个，剩下的4个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有415(个)。所以，至少有一个鸽舍要飞进5只鸽子。,19,举一反三,9. 23个小球放进11个箱子中，不管怎么放，总有一个箱子中至少要放（ ）个球。 10. 把7只小猫放进3个笼子里，不管怎么放，总有一个笼子里至少放( )只猫。 11. 13个在2015年出
9、生的儿童中，至少有( )个是同一月出生的。,3,2,3,20,【例5】某养殖场里养的鸡和兔共360只，共有1080只脚，养殖场里养了鸡和兔各多少只？,解：兔的只数(10803602)2180(只)， 鸡的只数360180180(只)。 答：养殖场里养了鸡、兔各180只。,精析：这是一个很典型的鸡兔同笼的问题，已知总的头数和足数，可以先假设全部是鸡，则兔的只数(总足数总头数2)2，鸡的只数总头数兔的只数。,题型五,21,12. 小林参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道题得20分，每做错一道题倒扣6分(没做按做错算)。已知他做对的题的数量是做错的2倍。并且他所有的题都做了，这套
10、试卷一共多少道题？,解：设他做错了x道题，则做对了2x道题， 这套试卷一共3x道题。 2x206x68 x2 326（道） 答：这套试卷一共6道题。,举一反三,22,13. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。这几天当中有几天有雨？,1121420160(个) (160112)(2012)6(天)。 答：这几天当中有6天有雨。,23,14. 鸡兔同笼，鸡头比兔头多20个，兔脚比鸡脚多200只。鸡、兔各有多少只？,解：设兔有x只，则鸡有(20 x)只。 4x(20 x)2200 4x2x240 x120 12020140(只)
11、 答：鸡有140只，兔有120只。,24,差错类型及归纳,类型,解决鸡兔同笼问题时，假设的前后两个数之间的关系容易混淆。,【例】北顺小学举办数学竞赛，试卷共有20道题，每做对一道得5分，错一道倒扣2分。思远做了所有的题，共得了79分，他做对了几道题？,错解：20(20579)(52) =20213 =13(道) 答：他做对了13道题。,25,正解：20(20579)(52) =20217 =17(道) 答：他做对了17道题。,分析：此题错在答对一道题和答错一道题相差的不是(52)分，而是(52)=7(分)。在用假设法解答鸡兔同笼类型的应用题时，要注意假设前后两个数之间相差的数，有时相差的数是两
12、数之和。,26,针对性练习,1.实验中学三年级学生进行野外训练。晴天每天行20千米，雨天每天行10千米。8天内的行程为140千米。这期间有多少晴天？多少雨天？ 假设全是晴天。,(208140)(2010)=2(天) 82=6(天) 答：晴天有6天，雨天有2天。,27,2.小明参加数学竞赛，共10道题，每做对一道得10分，每做错一道倒扣5分(不做按做错算)，他最后得了55分。小明一共做错了几道题？,假设小明全做对了，则1010=100（分）。 （100-55）（10+5）=3（道） 答：小明一共做错了3道题。,28,3.在一个停车场上，现有汽车和三轮摩托车共24辆，共有86个轮子，这些车中，汽车
13、和三轮摩托车各有多少辆？,假设24辆全是4个轮子的汽车，则三轮摩托车有 （244-86）（4-3）=10（辆） 24-10=14（辆） 答：汽车有14辆，三轮摩托车有10辆。,29,小考复习训练,一、选择题。 1. 王东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子总数至少有两次相同，他最少应掷( )次。 A. 5 B. 6 C. 7 2. 10瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用天平称，至少称( )次一定能找出次品。 A. 3 B. 4 C. 5 3.一根木料锯成3段要8分钟，如果每锯一段所用的时间相同，那么锯成7段需要( )分钟。 A. 12 B. 14 C. 24,C,A,C,30,4. 一个圆形跑道
14、400米，如果每10米竖一道警示牌，共需( )道警示牌。 A. 4 B. 40 C. 39 5.4个好朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握( )次手。 A. 3 B. 4 C. 6,B,C,31,二、填一填。 1. 有3个同学每两个握一次手，共握（ ）次手。 2. 第7幅图有( )个圆圈。 3.在一次数学竞赛中，六年级(1)班40名学生中，第一题有30人做对，第二题有12人没做对，两题都做对的有20人。两题都没做对的有( )人。 4. 从家到学校有3条不同的路可走，从学校到书店有4条不同的路可走。则小明从家经过学校到书店有( )条不同的路可走。,3,28,2,12,32,5.抽屉里有4支红铅笔
15、和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿（ ）支，才能保证至少有1支蓝铅笔。 6. 27只乒乓球中有一只是次品，次品比正品轻一点，现在有一天平，至少称( )次，一定能把次品找到。 7.园林工人沿公路一侧种树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。第一棵与最后一棵之间的距离有（ ）米。 8. 一个箱子里有5个红球和5个绿球，一次至少摸( )个球才能保证摸到两个同颜色的球。 9. 把15只兔子关进4个笼子，无论怎样总有一个笼子里至少关进了( )只兔子。,5,3,210,3,4,33,三、解决问题。 1. 从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的2根一共65根电线杆。现在改成每隔60米安装一
16、根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？,45和60的最小公倍数是180 (651)45180=16(根) 16-1=15（根） 答：中途还有15根不必移动。,34,2. 三年级（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问这两项比赛都参加的有几人？,36+38-55 =74-55 =19（人） 答：这两项比赛都参加的有19人。,35,3.有两袋乒乓球，一袋有28个，另一袋有100个。如果每次从多的一袋里取出4个放进少的一袋里，拿多少次才能使两袋乒乓球个数相等？ 4.将一批练习本发给六年级(1)班学生，如果每人发4本就多出48本；如果每人发6本，又少8本。六年级(1)班有学生多少人？,（100-28）（42）=9（次） 答：拿9次才能使两袋乒乓球个数相等。,(488)(64)=28(人) 答：六年级(1)班有学生28人。,
