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1、1,多自由度体系 4-1 两个自由度体系的自由振动,2,多层房屋振动不等高排架振动。,多自由度体系,简化,多自由度体系,建立运动方程,刚度法（平衡方程）,柔度法（位移协调）,3,1.刚度法,无阻尼自由振动微分方程,取质量 和 作隔离体,隔离体,1.惯性力 和,2.弹性力 和,4,根据达朗伯原理，列平衡方程,图10-30c中，结构所受的力 、 与结构的位移 、 之间满足刚度方程。,(a),(b),式（b） 式（a）,得：,是结构的刚度系数（图10-30d）,代入,(4-1),5,(4-1),两个自由度无阻尼体系的自由振动微分方程,求解：,假设两个质点为简谐振动，则式(4-1)的解可设：,(c),
2、式(c)所示运动的特点:,1)在运动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相位角， 和 是位移幅值； 2）两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者比值始终保持不变。,6,即,这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。,式（c）代入式（4-1），得：,(4-2),和 不全为零的解答，则：,(4-3a),式(4-3a)称为频率方程或特征方程，可求频率。,7,将式（4-3a）展开：,（4-3b),（4-4),可见：具有两个自由度的体系有两个自振频率。,其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率。 ：第二圆频率。,8,由自振圆频率 和 ，确定它们各自相应的频率。,代入,（4-2）,这个比值确
3、定的振动形式：第一圆频率 相对应的振型，称为第一振型或基本振型。,第一振型中质点1的振幅,第一振型中质点2的振幅,同样，由,（4-5a）,第二振型中质点1的振幅,得：,（4-5b）,第二振型中质点2的振幅,9,求出的两个振型分别如图10-31b、c,在一般情况下，两个自由振动体系的自由振动可看作是两个频率及其主振型的组合振动，即，,方程（4-1）的全解,10,从以上的讨论中，归纳：,（1）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系 的全部自振频率及其相应的主振型。,（2）两个（多个）自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度 的个数相等。自振频率可由特征方程求出。,（3）每个
4、自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系 能够按单自由度振动时所具有的特定形式。,（4）与单自由度系统相同，多自由度的自振频率和主振型也是本身的 固有性质。,11,例4-1 图10-32a所示两层刚架、其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、第二层的质量分别为m1、m2。层间侧移刚度分别为k1 、k2,即层间产生单位相对侧移时候所施加的力，如图10-32b所示。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。,解：由图10-32c和d可求 出结构的刚度系数：,将刚度系数代入到 式（4-3b）,得：,（a）,分两种情况讨论：,（1）当 时，,12,由此求得：,此时式（a）变为,13,求主振型
5、时，可由式（4-5a）和（4-5b）求出振幅比值，从而画出振型图。,第一主振型,第二主振型,如图10所示-33,14,（2）当 时，,代入式（4-5a）和（4-5b），可求出主振型：,由此求得：,此时式（a）变为,如当n=90时，,由此可知，当顶部质量和刚度突然变小时，顶部位移比下部位移大很多。建筑结构中，这种因顶部质量和刚度突然变小，在振动中引起巨大反响的现象，称为鞭稍效应。,15,2.柔度法,思路：在自振运动中的任一时刻 ，质量 、 的位移 、 应当等于体系在当时惯性力 、 作用下所产生的静力位移。据此可列方程如下：,（4-6）,柔度系数,16,下面求微分方程（4-6）的解。仍设解为如下形
6、式：,这里，假设多自由度体系按某一主振型象单自由度体系那样作自由振动， 和 是两质点的振幅（图10-24c）.有式（a）可知两质点的惯性力为：,（a）,（b）,质点惯性力的振幅,代入式 （4-6）,（4-7）,17,（4-7）,主振型的 位移幅值,主振型惯性力幅值 作用下所引起的静力位移。,（c）,18,（c）,19,(4-8),式(c),主振型,(4-9),(4-9),20,例4-2,试求图10-35a所示等截面简支梁的自振频率和主振型。设梁在三分点1和2处有两个相等的集中质量m,解： 先求柔度系数。为此，作 图如图10-35b、c所示。由图乘法求得：,然后代入式(4-8)，得：,21,从而
7、求得两个自振圆频率：,最后求主振型。由式（4-9a、b）,得,第一主振型对称,第二主振型反对称,22,3. 主振型的正交性,现以图10-37所示体系的两个主振型为例来说明。,图10-37a为第一主振型，频率为 ，振幅为 ，其值正好等于相应惯性力 所产生的静位移。,图10-37b为第二主振型，频率为 ，振幅为 ，其值正好等于相应惯性力 所产生的静位移。,上述两种静力平衡用功的互等定理，可得：,两主振型关于质量的正交关系,23,4-2 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,24,1.刚度法,图10-38所示两个自由度体系为例，在在动荷载下的振动方程：,(4-10),(4-1),如果荷载是简谐荷载，
8、即：,(a),则在平稳振动阶段，各质点也作简谐震动：,(b),25,将式(a)和(b)代入（4-10），消去公因子 后，得：,(4-11),(4-12),将式(4-11)的位移幅值代回到式(b)，即得任意时刻t的位移。,位移幅值,例4-3 设例10-4中的图10-32a所示刚架在底层横梁上作用简谐荷载 （图10-39）.试画出第一、二层横梁的振幅 与荷载频率之间的关系曲线。设,26,解：刚度系数为,荷载幅值为：,(c),代入式（4-12）和式（4-11），得,其中，,(d),将式（d）和例4-1中的特征方程相比，可知：,27,其中两个频率 和 已由例4-1求出：,因此式（c)可写成：,(e),
9、图10-40所示为振幅参数 与荷载频率参数 之间的关系曲线。,28,Y1趋于无穷大,Y2趋于无穷大,29,2.柔度法,图10-42a所示两个自由度体系，受简谐荷载作用，在任一时刻t，质点1、2的位移y1和y2，可以由体系惯性力 和动力荷载共同作用下的位移，通过叠加写出（10-42b）,(4-13),设平稳振动阶段的解为：,(a),30,将式（a）代入式（4-13),消去公因子 后，得：,(4-14),由此可解得位移的幅值为：,(4-15),式中：,(4-16),31,在求得位移幅值Y1、Y2后，可得到各质点的位移和惯性力。,位移：,惯性力：,因为位移、惯性力和动力荷载同时到幅值，动内力也在振幅
10、位置达到幅值。动内力幅值可以在各质点的惯性力幅值和动力荷载幅值共同作用下按静力分析方法求得。如任一截面的弯矩幅值，可由下式求出：,32,例4-4 试求图10-42a所示体系的动位移和动弯矩的幅值图。已知：m1=m2=m, EI=常数，=0.61,解： （1）例4-2中已经求出柔度系数和基本频率。,33,所以,（2）作MP图，与例4-2中的 图乘，得：,（3）计算D0、D1和D2：,34,（4）计算位移幅值，得：,位移幅值图如图10-43c所示。,（5）计算惯性力幅值,（6）计算质点1、2的动弯矩幅值,体系所受动力荷载及惯性力的幅值，如图10-43b所示。据此可求出反力及弯矩幅值。,35,（7）计算质点1的位移、弯矩动力系数,
