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1、1,6-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式,静定结构的位移计算,第六章,6-1 概述,6-3 支座移动和温度变化时的位移计算,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,6-5 图乘法,6-6 互等定理,6-7 结构位移计算公式的另一种推导,2,1. 截面位移,6-1 概述,一、静定结构的位移,静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。,桁架受荷载作用,刚架受荷载作用,3,2. 广义位移,通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。,a),支座B下沉,温度变化,4,b),c),相对竖向位移,相对水
2、平位移,5,A左、右截面相对转角,e),d),6,次梁跨中挠度 主梁跨中挠度 楼盖跨中挠度 吊车梁跨中挠度,二、位移计算的目的,1）验算结构的刚度,7,2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件,求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。,12kN,7.5kN.m,9kN.m,2m,2m,A,B,8,三、实功和虚功：,1. 实功,力 在由该力引起的位移 上所作的功称为实功。即,右图中，外力是从零开始线性增大至 ，位移也从零线性增大至 。 也称为静力实功。,9,2. 虚功,力FP在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。,10,实功：,虚功：,虚功强调作功的力与位
3、移无关。,11,6-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式,一、 变形体虚功原理,定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi ，即W=Wi 。,12,下面讨论W及Wi 的具体表达式。,13,14,外力虚功：,微段ds的内虚功dWi：,整根杆件的内虚功为：,15,根据虚功方程W=Wi，所以有：,结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：,16,17,二、位移计算的一般公式,变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设
4、位移求未知力。 用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。,所以,在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则虚功方程为 ：,18,下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。,给定位移、变形,虚设平衡力系,1. 欲求 ，则在C截面加上竖向单位载荷 ，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。,19,2. 位移计算一般公式 外力虚功 内虚功 所求位移,给定的位移和变形。力和位移无关。,20,2）正负号规则： 若 及 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负； 乘积 及 的正负号分别由力与应变的正负号确定。 使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负， 以顺时针方
5、向为正，反之为负； 以拉力为正，压力为负， 以拉应变为正，压应变为负； 若 与 同向，则乘积 为正，反之为负。,21,4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。,图示单位荷载分别求位移,5）求位移步骤如下： 沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷； 求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力； 利用位移计算一般公式求位移。,22,例6-2-1 已知杆AB和BC在B处有折角 (见图a)，求B点下垂距离 。,a),1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加铰，见图b)。,解：,23,2）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得：,1/3,24,例6-2-2 已知杆AB在B左、右截面有竖向相对错动
6、见图a) ，求 。,25,解： 1）将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为滑动联结，见上页图 b)。 2）虚设平衡力系如图c）所示 。运用虚功方程W=0得：,26,例6-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度 。,解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程 得：,给定位移,虚设平衡力系,27,三、广义位移的计算,求图a）结构A、B截面相对水平位移 。,+,a) 给定位移,28,虚设单位载荷如上图c) ，d)所示。,由上图b)可得：,所以得：,29,所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。,下面给出几种情况的广义单位
7、荷载：,30,2),31,例6-2-4 因温度变化底板AB弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面C、D的相对水平位移 。,给定位移,虚设平衡力系,在截面C、D上加一对大小相等 、方向相反、 沿水平方向的单位荷载如图所示。,解：,32,注意，AC、BD杆无弯曲变形。,33,6-3 支座移动和温度变化时的位移计算,一、支座移动时的位移计算,若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变 均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：,34,例6-3-1 已知刚架支座B向右移动a,求 。,解：,1）求,求,35,2）求,3）求,36,二、温度变化时的位移计算
8、,静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。,1. 是温度改变值，而非某时刻的温度。,37,2. 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。,截面上、下边缘温差：,对于矩形截面杆件， ， 。,杆轴线处温度改变值 ：,38,3. 微段ds的应变,拉应变,弯曲应变,剪应变,4. 位移计算公式,39,小结：,2）,40,解：,41,42,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,一、 基本公式,求下图示结构在荷载作用下的位移 。,43,若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：,上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，,即体系是线性弹性体。,44,正负号规则：,45,若结构除荷载外，还有
9、支座移动和温度变化，则位移计算公式为：,2） 和 以拉力为正，压力为负；,3） 和 的正负号见下图。,46,二、各类结构的位移计算公式,1. 梁和刚架,在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：,在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。,对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。,47,2. 桁架,桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：,4. 拱,拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：,3. 组合结构,用于弯曲杆,用于二力杆,48,例6-4-1 求简支梁中点竖向位移 ，并讨论剪切变,形对位移的影响。,49,解：,50,若杆截面为矩形
10、，则k=1.2；又=1/3，则E/G=2(1+ )=8/3，I/A=h2/12。,若h/l=1/10，则,h/l=1/2， 则,可见，剪切变形的影响不能忽略。,51,6-5 图乘法,图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。,一、图乘法基本公式,52,53,说明： 1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。 2）y0与的取值： y0一定取自直线图形， 则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。 3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0
11、取负号。,54,二、 常见图形的几何性质,55,三 、 图乘法举例,运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。,56,分段 图均应分为对应的若干段，然后进行计算。,57,分块只对 或 中的一个图形进行 分块，另一个图形不分块。,58,例6-5-1 求 。,解：,作 图 图，如上图所示。,分段： ， 分为AC、CB两段， 分块： 图的CB段分为两块。,MP,59,此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是 ，再加上刚度为 的AC段，再减去刚度为 的AC段即可。,60,例6-5-2 求 , EI等于常数。,解：,作 图 图，如右图所示。,分段： ， 分为AC、CB
12、两段。 分块： 图的AC段分为两块。,61,如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。,图,例6-5-3 求 , EI等于常数。,作 图 图，如下页图所示。,解：,62,63,例6-5-4 求 , EI等于常数。,解：,作 图及 图， 如右所示。,分段： ， 分 为AB、BC两段。 分块： 图的 BC段分为两块。,64,65,例6-5-5 求CH，EI等于常数。,解：,作MP图和 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。,66,67,6-6 互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、 功的互等定理,功的互等本质上是虚功互等。,下图给出状态
13、I和状态II。,68,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：,69,同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：,所以,即,70,定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。,二、 位移互等定理,定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。 即 12= 21,即,71,由功的互等定理可得：,在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：,或,于是,所以,72,73,例6-
14、6-1 验证位移互等定理。,解：,74,所以,例6-6-2 验证位移互等定理。,75,解：,所以,76,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,根据功的互等定理有：,77,在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即,或,所以,得,说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位； j 产生支座移动的支座。,78,例6-6-3 验证反力互等定理。,可见：r12=r21,定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等
15、于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。,79,四、位移反力互等定理,根据功的互等定理有：,令,上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。,80,位移反力互等定理在混合法中得到应用。,所以,由此得到,即,定理 在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数 ，但二者符号相反。,81,例6-6-4 验证位移反力互等定理。,82,6-7 结构位移计算公式的 另一种推导,本节讨论问题的思路是：先导出局部变形时的位移公式，然后运用叠加原理，导出结构位移计算的一般公式。,一、 局部
16、变形时静定结构的位移计算公式,先讨论三个例题。,例6-7-1 下图示悬臂梁B左右截面有相对转角，试求A截面竖向位移。,83,令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：,解：,84,b,在截面B上加上滑动连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面A沿方向加上单位荷载，在B左右截面虚设一对剪力 如图所示。显然：,令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：,解：,例6-7-2 图示悬臂梁B截面有相对剪切位移 ，试求A截面沿 方向位移。,85,在截面B上加上轴向连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面A沿方向加单位荷载，在B左右截面虚设一对轴力 如图所示。显然：,令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：,解：,C,例6-7-3 图示悬臂梁B截面有相对轴向位移 ，试求A截面沿 方向位移。,86,二、微段变
